数项级数与幂级数

对于无穷级数S=\sum_{i=1}^\infty u_i,S_n=\sum_{i=1}^n u_i ，级数收敛是指S=\lim_{n\to\infty}S_n 存在且有限

1）若级数\sum_{i=1}^\infty u_i,\sum_{i=1}^\infty v_i 都收敛，则a\sum_{i=1}^\infty u_i+b\sum_{i=1}^\infty v_i 收敛

2）若级数\sum_{i=1}^\infty u_i 收敛，则\sum_{i=m}^\infty u_i 在m\to\infty 时也收敛

3）若级数\sum_{i=1}^\infty u_i 收敛，则\lim_{n\to\infty}u_n=0

给出两个正项级数\sum_{i=1}^\infty u_i,\sum_{i=1}^\infty v_i ，对于所有的i=1,2,3,... ，有u_i\le v_i

则\sum_{i=1}^\infty u_i 发散可推出\sum_{i=1}^\infty v_i 发散，\sum_{i=1}^\infty v_i 收敛可推出\sum_{i=1}^\infty u_i 收敛

给出两个正项级数\sum_{i=1}^\infty u_i,\sum_{i=1}^\infty v_i ，\lim_{i\to\infty}\frac{u_i}{v_i}=A

若A=0 ，则\sum_{i=1}^\infty v_i 收敛可推出\sum_{i=1}^\infty u_i 收敛，\sum_{i=1}^\infty u_i 发散可推出\sum_{i=1}^\infty v_i 发散

若A=\infty ，则\sum_{i=1}^\infty v_i 发散可以推出\sum_{i=1}^\infty u_i 发散，\sum_{i=1}^\infty u_i 收敛可推出\sum_{i=1}^\infty v_i 收敛

若0[InvalidCharacterError: "A<\INFTY<" did not match the Name production] ，则\sum_{i=1}^\infty u_i,\sum_{i=1}^\infty v_i 敛散性一致

\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\begin{cases} \rho<1\Rightarrow convergence\\ \rho>1\Rightarrow divergence \end{cases}

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\begin{cases} \rho<1\Rightarrow convergence\\ \rho>1\Rightarrow divergence \end{cases}

1）几何级数\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}\begin{cases} convergence,|q|<1\\ divergence,|q|\ge1 \end{cases}

2）p 级数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\begin{cases} convergence,|p|>1\\ divergence,|p|\le1 \end{cases}

3）广义p 级数\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^p}\begin{cases} convergence,|p|>1\\ divergence,|p|\le1 \end{cases} （积分法证明）

4）交错p 级数\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{n^p}\begin{cases} absolute-convergence,p>1\\ conditional-convergence,0[InvalidCharacterError: "P\LE1\\" did not match the Name production]

判定步骤：

给定一个正项级数，首先观察项的形式；

对于形似taylor展开的项，匹配对应的taylor展开式；

对于指数形式的项，用根值判别法；

对于分式项，可采用比值判别法；

根值判别法失败，比值判别法失败，以及无法用上述三种方法判定的，采用比较判别法；

先观察项的形式是否与给定的四种级数类似：几何级数，p级数，广义p级数，交错p级数；

四种级数不能比较，考虑放缩；

放缩不能解决，考虑积分判定法。

任给一交错级数\sum_{n=1}^\infty u_n ，若\{|u_n|\} 单调不增且\lim_{n\to\infty} |u_n|=0 ，则该级数收敛

任给一级数\sum_{n=1}^\infty u_n

称\sum_{n=1}^\infty u_n 绝对收敛，若\sum_{n=1}^\infty |u_n| 收敛

称\sum_{n=1}^\infty u_n 条件收敛，若\sum_{n=1}^\infty u_n 收敛，但\sum_{n=1}^\infty |u_n| 发散

标准形式为\sum_{n=0}^\infty a_nx^n

一般形式为\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x^*)^n

称x_0 为幂级数\sum_{n=0}^\infty a_nx^n 的收敛点若\sum_{n=0}^\infty a_nx_0^n 收敛

称x_0 为幂级数\sum_{n=0}^\infty a_nx^n 的发散点若\sum_{n=0}^\infty a_nx_0^n 发散

收敛半径的求法\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho ，则收敛半径R=\begin{cases} \frac{1}{\rho},\rho\ne0\\ 0,\rho=+\infty\\ +\infty,\rho=0 \end{cases}

开区间(-R,R) 是幂级数\sum_{n=0}^\infty a_nx^n 的收敛区间，再验证端点-R,R 的收敛性，则得到收敛域

当幂级数\sum_{n=0}^\infty a_nx^n 在点x=x_1 处收敛时，任意满足|x|<|x_1| 的x ，幂级数绝对收敛（既幂级数在收敛域内绝对收敛）

当幂级数\sum_{n=0}^\infty a_nx^n 在点x=x_2 处发散时，任意满足|x|>|x_2| 的x ，幂级数发散（记幂级数在收敛域外发散）

<span class="formula-wrapper" contenteditable="false" data-tex="e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}(-\infty[InvalidCharacterError: "X<\INFTY)"" did not match the Name production]

\ln(1-x)=\sum_{n=1}^\infty-\frac{x^n}{n}(-1\le x<1)

(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+...+\frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}x^n+...,\begin{cases} x\in(-1,1),a\le-1\\ x\in(-1,1],-1[InvalidCharacterError: "A<0\\" did not match the Name production]