傅里叶级数

迪利克雷收敛定理

设f(x) 是以2l 为周期的可积函数，若在[-l,l] 上满足

1）f(x) 只有有限个第一类间断点

2）f(x) 只有有限个极值点

则f(x) 在[-l.l] 上的Fourier级数处处收敛，其和函数S(x)=\begin{cases} f(x),x~is~successive~point\\ \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2},x~is~discontinuity~point\\ \frac{f(l^-)+f(-l^+)}{2},x=\pm l \end{cases}

周期为的周期函数的傅里叶展开

f(x) 的傅里叶展开为\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)

其中\begin{cases} a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)dx~~~~~~~~~~~~~~~\\ a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx\\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx\\ \end{cases} ,n=1,2,...

当f(x) 为奇函数时，其展开式是正弦函数\sum_{n=1}^\infty b_n\sin\frac{n\pi x}{l}

当f(x) 为偶函数时，其展开式是余弦函数\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\frac{n\pi x}{l}

傅里叶级数