行列式

行列式概念

Laplace展开计算行列式

对于一个n行n列的矩阵A ，其行列式是将其映射为实数的一个映射，记作|A|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11}...a_{1n}\\ .~~~~~~~~.\\ a_{n1}...a_{nn} \end{array}\right|

1）行列式某行全为0，或者行列式两行成比例，则行列式为0

2）行列式的某行是两个元素之和，则行列式可拆分为两个行列式，注意只能一行

\left|\begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11}...a_{1n}+b_{1n}\\ .~~~~~~~~~~~~~~~~~~.\\ a_{n1}~~~~~~..~~~~~~.a_{nn} \end{array}\right|= \left|\begin{array}{cccc} a_{11}...a_{1n}\\ .~~~~~~~~.\\ a_{n1}...a_{nn} \end{array}\right|+ \left|\begin{array}{cccc} b_{11}...b_{1n}\\ .~~~~~~~~.\\ a_{n1}...a_{nn} \end{array}\right|

3）行列式两行或者两列互换一次，行列式符号换号一次

4）将行列式某行或者某列的公因子提出乘到行列式外面，行列式值不变

\left|\begin{array}{cccc} ka_{11}...ka_{1n}\\ .~~~~~~~~.\\ a_{n1}...a_{nn} \end{array}\right|= k\left|\begin{array}{cccc} a_{11}...a_{1n}\\ .~~~~~~~~.\\ a_{n1}...a_{nn} \end{array}\right|

5）行列式某行或者某列的K倍加到另一行（注意不能是同一行），行列式值不变

6）|AB|=|A|\cdot|B|

矩阵A 在第i行第j列的余子式M_{ij} 定义为|A| 去掉第i行和第j列后的行列式

矩阵A 在第i行第j列的代数余子式A_{ij} 定义为A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}

行列式|A| 按照第i行展开的Laplace展开式为|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A{ij},(i=1,2,...,n) ，按照第j列展开的Laplace行列式为|A|=\sum_{i=1}^na_{ij}A{ij},(j=1,2,...,n)

补充知识：

|A^*|=|A|^{n-1}