矩阵

矩阵的基本运算

矩阵的逆与伴随矩阵

矩阵方程

矩阵的秩

1）矩阵的数乘

kA=k\left[\begin{array}{cccc} a_{11}...a_{1n}\\ .~~~~~~~~.\\ a_{n1}...a_{nn} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cccc} ka_{11}~...~ka_{1n}\\ .~~~~~~~~~~.\\ ka_{n1}~...~ka_{nn} \end{array}\right]

注意|kA|=k^n|A|

给定n阶矩阵A ，若存在n阶矩阵B ，s.t.AB=BA=E ，则称B 为A 的逆矩阵，记作A^{-1}

(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}

给定n阶矩阵A ，定义其伴随矩阵A^*=\left[\begin{array}{cccc} A_{11}~...~A_{n1}\\ A_{12}~...~A_{n2}\\ .~~~~~~~~~.\\ A_{1n}~...~A_{nn} \end{array} \right]

A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*,AA^*=A^*A=|A|E

1）一个非零常数乘矩阵的某一行或者某一列

2）互换矩阵中某两行的位置

3）将矩阵的某一行或者某一列的k倍加到另一行或者另一列

初等行变换<span class="formula-wrapper" contenteditable="false" data-tex="[A,E]\rightarrow[E,A^{-1}]">[A,E]\rightarrow[E,A^{-1}]

初等列变换\left[\begin{array}{cccc} A\\ E \end{array} \right]\rightarrow \left[\begin{array}{cccc} E\\ A^{-1} \end{array} \right]

矩阵A,B 均是m\times n 阶矩阵，且存在m阶方阵P 与n阶方阵Q ，满足PAQ=B ，则称A,B 是等价矩阵，记作A\cong B

若A 等价于形如\left[ \begin{array}{cccc} E_r~~O\\ O~~~O \end{array} \right] 的矩阵，则称\left[ \begin{array}{cccc} E_r~~O\\ O~~~O \end{array} \right] 为A 的等价标准型

称m\times n 矩阵A 的秩为k ，若存在A 的k 阶子式不为0，而任意大于k 阶的子式皆为0，记作r(A)=k

1）初等变换不改变矩阵的秩

2）r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}

3）r(A+B)\le r(A)+r(B)

4）r(A^*)=\begin{cases} n,r(A)=n~~~~~~~\\ 1,r(A)=n-1\\ 0,r(A)[InvalidCharacterError: "\end{cases}<" did not match the Name production]