线性方程组

克拉默法则

齐次线性方程组有非零解的充要条件

非齐次线性方程组有解的充要条件

齐次线性方程组的基础解系，通解

非齐次线性方程组解的结构以及通解

Gauss消去法（初等行变换）求解线性方程组-

考虑齐次线性方程组Ax=0 ，其中A为n阶方阵

解的线性组合也是解

设\xi_1,...,\xi_s 是Ax=0 的一组线性无关的非零解，而且任意解都可以由\xi_1,...,\xi_s 表出，则称\xi_1,...,\xi_s 为Ax=0 的一个基础解系，且有s=n-r(A)

齐次线性方程组Ax=0 有非零解的充要条件是r(A)[InvalidCharacterError: "N<" did not match the Name production] ，此时通解为x=\sum_{i=1}^sk_i\xi_i ，其中s=n-r(A)

对于线性方程组Ax=b ，若|A|\ne0 ，则方程有唯一解，解可以表示为x_i=\frac{A_i}{A},(i=1,2,...n) ，其中A_i 将第i 列元素换成b

1）非齐次线性方程组Ax=b 有解\Leftrightarrow

2）向量b 能由A 的列向量线性表出\Leftrightarrow

3）A 的列向量组与[A,b] 的列向量组等价\Leftrightarrow

4）系数矩阵与增广矩阵的秩相等

即系数矩阵与增广矩阵的秩相等（常用Gauss消去法将增广矩阵化为梯形阵以观察秩是否相等）

1）设\xi_i,\xi_2 都是非齐次线性方程组Ax=b 的解，则\xi_1-\xi_2 是对应的齐次线性方程组Ax=0 的解

2）若\xi_1,...\xi_s 是齐次线性方程组Ax=0 的基础解系，\eta* 是非齐次线性方程Ax=b 的的一个解（称为特解），则非齐次线性方程Ax=b 的通解为x=\eta^*+\sum_{i=1}^sk_i\xi_i

对于[A,b] 中含有待定参数的非齐次线性方程组Ax=b ，采用以下两种方式考察解

1）Gauss消去法将增广矩阵化维梯形矩阵，考察不同系数的情况下，秩的不同

2）对于系数矩阵中含有未知数的情形，令f(a,b,...)=|A(a,b,...)| ，考察f 的零点，在零点处A 是不可逆的，故肯定无解，在非零点处考察增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是否相等

即求两个线性方程组Ax=0,Bx=0 的公共解

1）可求解\left[ \begin{array}{cccc} A\\B \end{array} \right]x=0 ，同理对于Ax=a,Bx=b ，则求解\left[ \begin{array}{cccc} A\\B \end{array} \right]x= \left[ \begin{array}{cccc} a\\b \end{array} \right]

2）设Ax=0 的通解为\sum_{i=1}^sk_i\xi_i ，其中k_i,(i=1,2,...,s) 待定，将其代入Bx=0 ，求得k_i,(i=1,2,...,s) 即可

3）设Ax=0 的通解为\sum_{i=1}^sk_i\xi_i ，Bx=0 的通解为\sum_{j=1}^tl_j\eta_j ，则公共解\gamma=\sum_{i=1}^sk_i\xi_i=\sum_{j=1}^tl_j\eta_j ，求解\sum_{i=1}^sk_i\xi_i-\sum_{j=1}^tl_j\eta_j=0 ，确定待定系数即可

若两个方程Ax=0,Bx=0 有完全相同的解，则称之为同解方程组

等价条件

1）Ax=0,Bx=0 是同解方程组\Leftrightarrow

2）\forall x,Ax=0\Rightarrow Bx=0,\forall x,Bx=0\Rightarrow Ax=0 \Leftrightarrow

3）r(A)=r(B)=r\left( \left[ \begin{array}{cccc} A\\B \end{array} \right] \right) \Leftrightarrow

4）r(A)=r(B) ，且\forall x,Ax=0\Rightarrow Bx=0 （或\forall x,Bx=0\Rightarrow Ax=0 ）