矩阵特征值和特征向量

特征值和特征向量的概念与求法

相似矩阵的概念、性质以及矩阵可相似对角化的充要条件以及相似对角化的方法

实对称矩阵的特征值和特征向量的性质

设A 为n阶矩阵，若存在一个数\lambda 以及一个n维列向量\xi ，使得A\xi=\lambda\xi ，则称\xi 为A 的特征向量，\lambda 为对应的特征值

n阶矩阵A 的特征多项式为f(\lambda)=|\lambda E-A| 或f(\lambda)=|A-\lambda E|

对于两个n阶方阵A,B ，称A 与B 相似，若存在n阶可逆矩阵P ，使得P^{-1}AP=B ，记作A\sim B

若A\sim B ，则有

1）|A|=|B|

2）r(A)=r(B)

3）tr(A)=tr(B)

4）\lambda_A=\lambda_B(|\lambda E-A|=|\lambda E-B|)

5）f(A)\sim f(B),A^T\sim B^T,A^{-1}\sim B^{-1},A^*\sim B^*

1）A\sim B,B\sim \Lambda \Rightarrow A\sim \Lambda

2）A\sim C,B\sim D\Rightarrow\left[ \begin{array}{cccc} A~O\\ O~B \end{array} \right]\sim \left[ \begin{array}{cccc} C~O\\ O~D \end{array} \right]

字面意思，相似于一个对角矩阵

矩阵A\sim\Lambda 的充要条件是

1）A 有n个线性无关的特征向量

2）\lambda_i 是特征多项式的n_i 重根，n_i=n-r(\lambda_iE-A)

矩阵A\sim \Lambda 的充分条件是

1）A 有n个互异的特征值

2）A^2=A

3）A^2=E

4）A 是实对称矩阵

5）r(A)=1,tr(A)\ne0

A\sim \Lambda\Rightarrow r(A)= 非零特征值的个数（重根按照重数计算）

矩阵A 不可相似对角化，若满足以下条件之一

1）A\ne O,\exists k>0,s.t.A^k=O

2）A 的特征值全部为k 但A\ne kE

1）特征值均为实数，特征向量给均为实向量

2）不同特征值对应的特征向量正交

3）可用正交矩阵相似对角化