二次型

二次型、二次型的秩

合同变换与合同矩阵

二次型的标准型、规范形以及惯性定理

正定二次型、正定矩阵以及判别方法

二次型及其标准型、规范形

二次型及其矩阵表示

形如f(x_1,...,x_n)=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+...+2a_{1n}x_1x_n+...+a_{nn}x_{nn}^2 的n元二次齐次多项式称为n元二次型，简称二次型，其矩阵表示为f(x)=x^TAx ，其中A=\left| \begin{array}{cccc} a_{11}~...~a_{1n}\\ .~~~...~~~.\\ a_{n1}~...~a_{nn} \end{array} \right|

二次型的标准型和规范形

标准型

若二次型中只含有平方项没有交叉项，即形如\sum_{i=1}^nd_ix_i^2 ，称为标准型

规范形

在标准型中，系数仅为-1，0，1，即形如x_1^2+...+x_p^2-x_{p+1}^2-...x_{p+q}^2

惯性定理

二次型的化为标准二次型或者规范二次型后，其正项的个数记为p，负项的个数记为q，p称为正惯性指数，q称为负惯性指数

正交变换法

对于二次型f=x^TAx

1）求A 的特征值\lambda_1,...,\lambda_n 以及对应的特征向量\xi_1,...,\xi_n

2）将\xi_1,...\xi_n 正交化，或正交单位化为\eta_1,...,\eta_n

3）令Q=[\eta_1,...,\eta_n] ，则Q 为正交矩阵，且Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda

于是f=x^TAx=(Qy)^TA(Qy)=y^TQ^TAQy=y^T\Lambda y

标准型的几何应用

对于二次曲面f(x,y,z)=1

+++	椭球面
++-	单叶双曲面
+--	双叶双曲面

实对称矩阵的合同

合同的定义

A,B 是同阶的实对称方阵，若存在可逆矩阵C 使得C^TAC=B ，则称A,B 合同

区分合同与等价与相似

合同：存在可逆矩阵C,s.t.C^TAC=B

等价：存在可逆矩阵P,Q,s.t.PAQ=B

相似：存在可逆矩阵C,s.t.C^{-1}AC=B

正定二次型

二次型f(x)=x^TAx 是正定二次型的充要条件

1）\forall x\ne0,x^TAx>0 （定义）

2）A 的特征值\lambda_i>0,i=1,2,...,n

3）f 的正惯性指数p=n

4）存在可逆矩阵D ，使得A=DD^T

5）A 与E 合同

6）A 的全部顺序主子式全大于0

二次型f(x)=x^TAx 是正定二次型的必要条件

1）a_{ii}>0,i=1,2,...,n

2）|A|>0