随机变量及其函数的数字特征
期望
离散型随机变量（及其函数）的期望
设离散型随机变量X 的分布列为\left[
\begin{array}{cccc}
x_1,x_2,...\\
p_1,p_2,...
\end{array}
\right] ，则EX=\sum_ix_ip_i
设g(X) 为连续函数或者分段连续函数，则Eg(X)=\sum_ig(x_i)p_i
连续型随机变量（及其函数）的期望
设连续型随机变量X 的密度函数为f(x) ，则EX=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx
设g(x) 为连续函数或者分段连续函数，则Eg(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx
性质
1）E(aX+bY)=aEX+bEY
2）EXY=EXEY
方差
定义
方差定义为DX=E[(X-EX)^2]=EX^2-(EX)^2
离散型随机变量
对于分布列为\left[
\begin{array}{cccc}
x_1,x_2,...\\
p_1,p_2,...
\end{array}
\right] 的离散型随机变量X ，DX=E[(X-EX)^2]=\sum_i(x_i-EX)^2p_i
连续型随机变量
对于密度函数为f(x) 的连续型随机变量X ，DX=E[(X-EX)^2]=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-EX)^2f(x)dx
性质
1）Dc=0,c\in R
2）DX=0\Leftrightarrow X 几乎处处为某个常数a ，即P\{X=a\}=1
3）D(X\pm Y)=DX+DY\pm 2E(X-EX)(Y-EY)
4）若随机变量X,Y 相互独立，则D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY ，D(XY)=DX\cdot DY+DX(EY)^2+DY(DX)^2\ge DX\cdot DY
协方差与相关系数
定义
协方差定义为Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY ，相关系数定义为\rho_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX} \cdot \sqrt{DY}}
对于联合分布为P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij} 的离散型随机变量X,Y ，Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=\sum_{i,j}(x_i-EX)(y_j-EY)p_{ij}
对于联合分布的密度函数为f(x,y) 的连续型随机变量X,Y ，Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-EX)(y-EY)f(x,y)dxdy
性质
1）Coc(aX,bY)=abCov(X,Y)
2）Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)
3）|\rho_{xy}|\le 1
4）X,Y 相互独立\Rightarrow\rho_{xy}=0\Leftrightarrow EXY=EX\cdot EY
\Leftrightarrow D(X\pm Y)=DX \pm DY ，即独立性可推出不相关性，但反之未必
5）\rho_{xy}=1\Leftrightarrow P\{Y=aX+b\}=1(a>0),\rho_{xy}=-1\Leftrightarrow P\{Y=aX+b\}=1(a<0)
6）若(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2) ，则X,Y 独立\Leftrightarrow X,Y 不相关(\rho_{xy}=0) ，对于正态分布，独立性与不相关性等价
证明性5），需要柯西施瓦茨不等式|E\eta\xi|^2\le E\eta^2 E\xi^2 ，等号成立当且仅当\exists t_0,s.t.P\{\eta=t_0\xi\}=1 ，用判别式法可以证明
独立性与不相关性的判定
用分布判定独立性
随机变量X,Y 相互独立，则对任意实数x,y ，事件\{X\le x\},\{Y\le y\} 相互独立，即联合分布等于各自的边缘分布相乘F(X,Y)=F_X(X)\cdot F_Y(Y)
用数字特征判定不相关性
X,Y 不相关\Leftrightarrow\rho_{xy}=0\Leftrightarrow EXY=EX\cdot EY
\Leftrightarrow D(X\pm Y)=DX \pm DY
判定步骤
重要结论
1）独立\Rightarrow 不相关，相关\Rightarrow 不独立
2）对于二元正态分布以及二元0-1分布，独立\Leftrightarrow 不相关
切比雪夫不等式
设随机变量X 的数学期望和方差存在，则对任意的\varepsilon>0 ，有P\{|X-EX|\ge\varepsilon\}\le\frac{DX}{\varepsilon^2}
证明：
DX=\int_{-\infty}^\infty(x-EX)^2dF(x)\ge\int_{|x-EX|\ge \varepsilon}(x-EX)^2dF(x)\ge\int_{|x-EX|\ge\varepsilon}\varepsilon^2dF(x)=\varepsilon^2P\{|X-EX|\ge\varepsilon\}
从而有P\{|X-EX|\ge\varepsilon\}\le\frac{DX}{\varepsilon^2}