基本概念

设X_1,X_2,...,X_n 是来自总体X 的简单随机样本，则相应的统计量定义如下：

样本均值\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i

样本方差S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^nX_i^2-n\overline{X}^2\right)

样本标准差S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2}

随机变量X_1,X_2,...,X_n 相互独立且都服从标准正态分布，则随机变量X=\sum_{i=1}^nX_i^2 服从自由度为n 的\chi^2 分布，记为X\sim\chi^2(n)

1）X_i\sim\chi^2(n_i)(i=1,2,...,m) ，X_1,...,X_m 相互独立，则\sum_{i=1}^mX_i\sim\chi^2(\sum_{i=1}^nn_i)

2）X\sim\chi^2(n) ，则EX=n,DX=2n

随机变量X\sim N(0,1),Y\sim\chi^2(n) ，且X,Y 相互独立，则随机变量t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}} ，服从自由度为n 的t 分布，记为t\sim t(n)

其分布函数关于y 轴对称，故对于\alpha 处的上分为点有t_{1-\alpha}(n)=-t_{\alpha}(n)

随机变量X_1\sim\chi^2(n_1),X_2\sim\chi^2(n_2) ，且X_1,X_2 相互独立，则随机变量F=\frac{X_1/n_1}{X_2/n_2} 服从自由度为(n_1,n_2) 的F 分布，记为F\sim F(n_1,n_2)

F\sim F(n_1,n_2)\Rightarrow \frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1) ，故对于\alpha 处的上分为点有F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\frac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)}

设X_1,X_2,...,X_n 是取自正态总体N(\mu,\sigma^2) 的一个样本，\overline{X},S^2 分别是样本均值和样本方差

1）\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})

2）\sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n)

3）\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma}\right)^2\sim\chi^2(n-1)

4）\overline{X},S^2 相互独立，且\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}\sim t(n-1),\frac{n(\overline{X}-\mu)^2}{S^2}\sim F(1,n-1)