一个例子

问题：连续投一枚骰子，a和b为正整数，连续出现a次一点在连续不出现一点b次之前，则玩家甲胜利，若连续出现b次非一的点数在连续出现a次一点之前，则玩家甲失败，求玩家甲胜利的概率

记玩家甲获胜为事件A

p ：投出一点的概率

q ：不是一点的概率

u ：某次投出一点，之后玩家甲获胜的概率

v ：某次投出不是一点，之后玩家甲获胜的概率

x ：玩家甲获胜的概率

分析：

P{玩家甲获胜}=P{玩家甲获胜且第一次投出一点}+P{玩家甲获胜且第一次投出的不是一点}，则x=pu+qv

对于u ，每次投出一点之后，事件A可以有a种不相容的发生方式：1）从这次一点开始，之后a-1次都是一点，概率为p^{a-1} ；2）从这次一点开始，之后从第一次开始算起的第k(2\le k\le a) 次会首次出现非一点，但是之后会事件A仍然发生，概率为qv\sum_{k=2}^ap^{k-2} ，则有u=p^{a-1}+qv\sum_{k=2}^ap^{k-2}

对于v ，每次投出非一点之后，从第一次算起的第k(2\le k\le b) 次会首次出现一点，之后事件A发生，起概率为pu\sum_{t=2}^bq^{t-2} ，则有v=pu\sum_{t=2}^bq^{t-2}

联立\begin{cases} u=p^{a-1}+qv\sum_{k=2}^ap^{k-2}\\ v=pu\sum_{t=2}^bq^{t-2}~~~~~~~~~~~~~ \end{cases} ，解得u=\frac{p^{a-1}}{p^{a-1}+q^{b-1}-p^{a-1}q^{b-1}},v=\frac{p^{a-1}-p^{a-1}q^{b-1}}{p^{a-1}+q^{b-1}-p^{a-1}q^{b-1}} ，则x=p^{a-1}\frac{1-q^b}{p^{a-1}+q^{b-1}-p^{a-1}q^{b-1}}

同理，若记y 为玩家甲失败的概率，将p,q 以及a,b 的位置调换，即得到y=q^{b-1}\frac{1-p^a}{p^{a-1}+q^{b-1}-p^{a-1}q^{b-1}}

对于离散但无穷的样本空间，求概率可以根据关系式列出方程求解