母函数

母函数法用于处理取非负整数值的整值随机变量

对于取非负整数值的整值随机变量\xi ，其分布列为P\{\xi=i\}=p_i(i=0,1,2,...) ，则其母函数为P(s)=Es^\xi=\sum_{k=0}^\infty p_ks^k

1）P(1)=1,P(0)=0

2）唯一性

母函数与分布列一一对应，证明显然。

3）母函数与期望方差

P'(s)=\sum_{k=0}^\infty kp_k s^{k-1},P''(s)=\sum_{k=0}^\infty k(k-1)p_ks^{k-2} ，故P'(1)=E\xi,P''(1)=E\xi^2-E\xi,P''(1)+P'(1)-[{P'(1)}]^2=D\xi

先考虑两个独立的随机变量，\xi,\eta 分布列分别为\{a_k\},\{b_k\} ，其母函数分别为A(s),B(s) 则\xi+\eta 的分布列为\{c_k=\sum_{i+j=k}a_ib_j\} ，其母函数为C(s)=\sum_{k=0}^\infty c_ks^k=\sum_{k=0}^\infty \sum_{r=0}^ka_ib_js^{i+j}=\sum_{i=0}^\infty a_is^i\sum_{j=0}^\infty b_js^j=A(s)B(s)

对于若干个相互独立的随机变量\xi_1,...\xi_n ，设其母函数分别为P_1(s),...,P_n(s) ，则\eta=\xi_1+\xi_2+...+\xi_n 的母函数为P_1(s)...P_n(s)

设\xi_1,\xi_2,... 是一串相互独立具有相同概率分布的整值随机变量，其概率分布为P\{\xi_i=j\}=f_j ，其母函数为F(s)=\sum_{j=0}^\infty f_js^j

随机变量v 是取正整数值得，且P\{v=n\}=g_n ，其母函数为G(s)=\sum_{n=1}^\infty g_n s^n

v 与\xi_1,\xi_2,... 相互独立，考虑和\eta=\xi_1+\xi_2+...+\xi_v

记P\{\eta=i\}=h_i ，而P\{\eta=i\}=\sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}P\{\eta=i|v=n\}=\sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}P\{\xi_1+...+\xi_n=i\}

故\eta 的母函数为H(s)=\sum_{i=0}^\infty h_is^i=\sum_{i=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty P\{v=n\}P\{\xi_1+...+\xi_n=i\}s^i= \sum_{n=0}^\infty P\{v=n\}\sum_{i=0}^\infty P\{\xi_1+...+\xi_n=i\}s^i

=\sum_{n=0}^\infty P\{v=n\}[F(s)]^n=G[F(s)]

对于分布列为P\{\xi=k\}=C_n^kp^kq^{n-k} ，其母函数为P(s)=\sum_{k=0}^np^kq^{n-k}s^k=(q+ps)^n

N件产品M件不合格，抽检n件，其中k件不合格的概率是P\{X=k\}=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n},k=0,1,2,...\min\{n,M\} ，则其母函数为P(s)=\sum_{k=0}^\infty P\{X=k\}s^k=\sum_{k=0}^\infty\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}s^k(n[InvalidCharacterError: "M)<" did not match the Name production]

对于分布列为P\{\xi=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-k} 的泊松分布，则其母函数为P(s)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}e^{-k}s^k=e^{\lambda(s-1)}

对于分布列为P\{\xi=k\}=q^{k-1}p 的几何分布，其母函数为P(s)=\sum_{k=1}^\infty q^{k-1}ps^k=ps\sum_{k=1}^\infty(qs)^{k-1}=\frac{ps}{1-qs}

泊松逼近定理可以表示为：若np_n\rightarrow\lambda ，则B(n,p_n)\rightarrow P(\lambda)

二项分布的母函数为(1-p_n+p_ns)^n=(1+p_n(s-1))^n=(1+\frac{np_n(s-1)}{n})^{\frac{n}{np_n(s-1)}np_n(s-1)}\rightarrow e^{\lambda(s-1)}(n\to\infty)

帕斯卡分布表示伯努利试验中第r次出现时的试验次数\eta 的概率分布，而\eta=\xi_1+...+\xi_n ，其中\xi_1,...,\xi_n 相互独立，均服从几何分布，其母函数为P(s)=\frac{ps}{1-qs} ，则帕斯卡分布的母函数为H(s)=\left(\frac{ps}{1-qs}\right)^r

\xi_1,\xi_2,... 独立同分布，其母函数为F(s)， v 服从参数为\lambda 的泊松分布，则\eta=\xi_1+...+\xi_v 的母函数为H(s)=e^{\lambda(F(s)-1)}

特别地，若\xi_1,\xi_2,... 服从二项分布，其母函数F(s)=q+ps ，则H(s)=e^{\lambda p(s-1)}