特征函数
特征函数的定义
若随机变量\xi 的分布函数为F_\xi(x) ，则称f_\xi(t)=Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}dF_\xi(x) 为\xi 的特征函数
离散型：对于分布列为P\{\xi=x_i\}=p_i(i=1,2,...) 的离散型随机变量，则其特征函数为f(t)=\sum_{j=0}^\infty p_je^{itx_j}
特别地，对于整值随机变量，若其母函数为P(s) ，则f(t)=P(e^{it})
连续型：对于密度函数为p(x) 的连续型随机变量\xi 其特征函数为f(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}p(x)dx
特征函数的基本性质
1）图像性质
f(0)=1,|f(t)|\le f(0),f(-t)=\overline{f(t)}
2）一致连续：特征函数在 上一致连续
证明：
\forall \varepsilon>0,\exists A s.t.2\int_{|x|> A}p(x)dx\le\frac{\varepsilon}{2} ，由于在[-A,A] 上，|e^{ith}-1|=2|\sin\frac{hx}{2}| ，\exists h>0,s.t.2|\sin\frac{hx}{2}|\le\frac{\varepsilon}{2\int_{-A}^Ap(x)dx} ，此时有
|f(t+h)-f(t)|\le\int_{-\infty}^\infty|e^{itx}||e^{ith}-1|p(x)dx\le
2\int_{|x|>A}p(x)dx+\int_{-A}^A|e^{ihx}-1|p(x)dx\le
2\int_{|x|>A}p(x)dx+2\int_{-A}^A|\sin\frac{hx}{2}|p(x)dx\le
\varepsilon
3）非负定性：对于特征函数 任意正数 ，任意实数 以及任意复数 ，成立
证明：
\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^nf(t_k-t_j)\lambda_k\overline{\lambda_j}=
\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^nEe^{i(t_k-t_j)\xi}\lambda_k\overline{\lambda_j}=
E\left\{\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^ne^{i(t_k-t_j)\xi}\lambda_k\overline{\lambda_j}\right\}=
E\left\{\sum_{k=1}^ne^{it_k\xi}\lambda_k\sum_{j=1}^ne^{-it_j\xi}\overline{\lambda_j}\right\}=
E\left|\sum_{k=1}^ne^{it_k\xi}\lambda_k\right|^2\ge0
4）两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于他们的特征函数之积
设\xi_1,\xi_2 是两个相互独立的随机变量，且\eta=\xi_1+\xi_2 ，于是f_\eta(t)=Ee^{it\eta}=Ee^{it(\xi_1+\xi_2)}=Ee^{it\xi_1}Ee^{it\xi_2}=f_{\xi_1}(t)f_{\xi_2}(t)
5）随机变量有n阶矩存在，则它的特征函数n次可微，且当 时，有
证明：
\left|\frac{d^k}{dt^k}(e^{itx})\right|=|i^kx^ke^{itk}|\le|x|^k ，由于k 阶矩存在，故\int_{-\infty}^\infty|x|^kdF(x)<\infty ，因此有f^{(k)}(t)=\int_{-\infty}^\infty \frac{d^k}{dt^k}(e^{itx})dF(x)=i^k\int_{-\infty}^\infty x^ke^{itx}dF(x)
令t=0 ，则有f^{(k)}(0)=i^kE\xi^k
6）若随机变量有n阶矩存在，则它的特征函数可以展开
由5）知f(t) 可在t=0 附近做Taylor展开，展式为f(t)=1+(it)E\xi+\frac{(it)^2}{2!}E\xi^2+...+\frac{(it)^n}{n!}E\xi^n+o(t^n)
7）随机变量的线性变换的特征函数
随机变量\xi 的特征函数为f_\xi(t) ，则随机变量\eta=a\xi+b ，则\eta 的特征函数为f_\eta(t)=e^{itb}f_\xi(at)
例子
退化分布的特征函数
f(t)=e^{ict}
二项分布 的特征函数
f(t)=(q+pe^{it})^n
泊松分布 的特征函数
f(t)=e^{\lambda(e^{it}-1)}
分布 的特征函数
f(t)=\int_0^{\infty}e^{itx}\frac{\lambda^r}{\Gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx=
\int_0^{\infty}\frac{\lambda^r}{\Gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda (1-\frac{it}{\lambda})x}dx=
\left(1-\frac{it}{\lambda}\right)^{-r}
指数分布 的特征函数
即\Gamma(1,\lambda) ，特征函数为f(t)=\left(1-\frac{it}{\lambda}\right)^{-1}
分布的特征函数
即\Gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2}) ，特征函数为f(t)=(1-2it)^{-\frac{n}{2}}
正态分布的特征函数
对于N(0,1) ，f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{itx}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \cos{tx}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}dx ，故有f'(t)=-tf(t) ，解得\ln f(t)=-\frac{t^2}{2}+c ，又f(0)=1 ，故c=0,f(t)=e^{-\frac{t^2}{2}}
对于N(\mu,\delta^2) ，特征函数为f(t)=e^{i\mu t}e^{-\frac{\delta^2x^2}{2}}
逆转公式与唯一性定理
逆转公式
设分布函数F(x) 的特征函数为f(t) ，x_1,x_2 是F(x) 的连续点，则F(x_2)-F(x_1)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-T}^T\frac{e^{-itx_1}-e^{-itx_2}}{it}f(t)dt
唯一性定理
分布函数F(x) 由其特征函数f(t) 唯一决定，特别地，在F(x) 的每一连续点上，都有F(x)=\lim_{y\to-\infty}\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-T}^T\frac{e^{-ity}-e^{-itx}}{it}f(t)dt
进一步，若\int_{-\infty}^\infty|f(t)|dt<\infty ，则相应的分布函数的导数存在并连续，且p(x)=F'(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-itx}f(t)dt
分布函数的应用
再生性
二项分布分布函数再生性
若\xi_1\sim B(n_1,p),\xi_2\sim B(n_2,p) ，则\eta=\xi_1+\xi_2\sim B(n_1+n_2,p) ，其特征函数为f_\eta(t)=(q+pe^{it})^{n_1+n_2}
泊松分布分布函数再生性
若\xi_1\sim P(\lambda_1),\xi_2\sim P(\lambda_2) ，则\eta=\xi_1+\xi_2\sim P(\lambda_1+\lambda_2) ，其特征函数为f_\eta(t)=e^{(\lambda_1+\lambda_2)(e^{it}-1)}
正态分布分布函数再生性
若\xi_1\sim N(\mu_1,\delta_1^2),\xi_2\sim N(\mu_2,\delta_2^2) ，则\eta=\xi_1+\xi_2 \sim N(\mu_1+\mu_2,\delta_1^2+\delta_2^2) ，其特征函数为f_\eta(t)=e^{i(\mu_1+\mu_2)t}\cdot e^{-\frac{(\delta_1^2+\delta_2^2)t^2}{2}}
分布分布函数再生性
若\xi_1\sim\Gamma(r_1,\lambda),\xi_2\sim\Gamma(r_2,\lambda) ，则\eta=\xi_1+\xi_2\sim\Gamma(r_1+r_2,\lambda) ，其特征函数为f_\eta(t)=\left(1-\frac{it}{\lambda}\right)^{-(r_1+r_2)}
分布的再生性
若\xi_1\sim \chi^2(n_1),\xi_2\sim\chi^2(n_2) ，则\eta=\xi_1+\xi_2\sim\chi^2(n_1+n_2) ，其特征函数为f_\eta(t)=(1-2it)^{-\frac{n_1+n_2}{2}}
10 3 3 5
4 7 5
0 1 1
0 2 1
0 3 3
1 3 1
2 3 1
10 3 3 3
5 0 10
0 1 1
1 2 1
2 3 1
10 5 3 6
5 0 9 1 6
0 1 1
1 2 1
2 3 1
0 4 1
4 5 1
5 3 1
10 4 4 5
6 7 5 0
0 1 1
0 2 1
1 3 1
2 3 1
3 4 1