Problem Set 9

problem 1

1)3

2)\aleph_0

3)\aleph_0

4)1

5)\aleph_0

6)\aleph_1

problem 2

1）

若A，B都是无限可列集，不妨设A\bigcap B=\emptyset ，

则C=A\bigcup B={a_0,b_0,a_1,b_1,...}={c_0,c_1,...} ，其中a_i=c_{2_i},b_i=a_{2*i+1} ,

因此A\bigcup B 是可列集

若A，B有一个无限可列集，一个有限可列集，不妨设A\bigcap B=\emptyset ，A是无限可列集，

B是有限可列集，C=A\bigcup B{b_0,...,b_n,a_0,...}={c_n} ，其中b_i=c_i,a_i=c_{n+i} ，是可列集

若A，B都是有限可列集，不妨设A\bigcap B=\emptyset ，

则C=A\bigcup B={a_0,a_1,...,a_n,b_0,b_1,...,b_m}={c_0,...,c_{n+m+1}} ，其中a_i=c_i,b_i=c_{n+i+1} ，是可列集

2）

若A，B都是无限可列集，不妨设A\bigcap B=\emptyset ，

则C=A\times B=\{[InvalidCharacterError: "A_0,B_0" did not match the Name production] ，C是按照字典序排序的，因此是可列的

若A，B有一个无限可列集，一个有限可列集，不妨设A\bigcap B=\emptyset ，A是无限可列集，

B是有限可列集，C=A\times B=\{[InvalidCharacterError: "A_0,B_0" did not match the Name production] ，

是可列个可列集的并，因而是可列集；

若A，B都是有限可列集，则A\times B 是有限集，因而也是可列集；

problem 3

a)无限可数集，f(a_n)=a_n-11

b)无限可数集，f(a_n)=(-a_n+1)/2

c)有限集

d)无限不可列集

e)无限可列集，f(<2,n>)=2(n-1),f(<3,n>)=2(n-1)+1

f)无限可列集，f(10n)=n

problem 4

一定，否则A=B\bigcup(A-B) 为可列集，矛盾

problem 5

根据f可以划分A的元素的等价类，设全体等价类的集合\{[a_n]\} ，对于每一个等价类[a_n] ，

选取代表元a_n ，代表元的全体组成的集合记为\{a_n\} ，由于B与\{a_n\} 是等势的，\{a_n\} 与

\{[a_n]\} 是等势的，因此B与\{a_n\} 是等势的，由于A是可列集，从而\{a_n\} 是可列集，从而B是

可列集

problem 6

令f:A\rightarrow B ，f(x)=x,x\in A ，f是从A到B的单射，因此A\preceq B

problem 7

2^A=\{0,1\}^A ，是A到\{0,1\} 的函数全体组成的集合，则\forall f\in \{0,1\}^A ，令T:\{0,1\}^A\rightarrow P(A) ，

T(f)=\{x|f(x)=1\} ，这是一个双射，因此P(A)\approx \{0,1\}^A

problem 8

1)无限可数集，f(2n)=2n-1,f(-2n)=2n,f(0)=0

2)无限不可数集

3)无限可数集，f(7n)=2n-1,f(-7n)=2n,f(0)=0

4)无限可数集，f(3n+1)=4n,f(3n+2)=4n+1,f(-3n-1)=4n+2,f(-3n-2)=4n+3

problem 9

a)A为非负实数集，B为正实数集，A-B={0}

b)A为实数集，B为无理数集，A-B=Q，实数集Q是可列集

c)A为无理数集，B为非正无理数集，A-B为正无理数集

problem10

归纳法

设\{A_n\} 为可列个可列集

当n=1时，\bigcup_{i=1}^1 A_i=A_1 是可列的；

当n=2时，\bigcup_{i=1}^2 A_i=A_1\bigcup A_2 是可列的；

假设\bigcup_{i=1}^n A_i 是可列的，则\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i=\{\bigcup_{i=1}^n A_i\}\bigcup A_{n+1} 是可列的；

从而\bigcup_{i=1}^n A_i 可列对任意n都是成立的，因此可列个可列集的并集是可列的