ZF公理系统

9条公理：

存在公理0，外延公理1，分离公理2，对集公理3，并集公理4，幂集公理5，无穷公理6，正则公理7，替换公理8

存在公理0

\exists x (x=x)

这个公理表明，至少存在一个集合，这是为了规定，集合论讨论的集合是存在的

外延公理1

\forall X\forall Y((\forall x(x\in X\leftrightarrow x\in Y))\leftrightarrow X=Y)

这个公理表明集合是由其元素决定的

此公理所说的看似显然成立，但是在实际情况中，存在大量的含有相同元素的但却不一样的集合；这条公理规定了在集合论中讨论的抽象集合的相等

分离公理2

对于公式\varphi(u) 和任意集合X ，存在一个集合Y ，\forall X\exists Y\forall u(u\in Y\leftrightarrow u\in X\wedge\varphi(u))

这个公理表明，若公式\varphi(x) 需要规定一个集合，必须满足的首要条件是：新集合是从已知存在的集合中用公式\varphi(x) 分离出来的，亦即存在集合，使得这个公式是定义于这个集合之上的，否则会导致悖论

Russel悖论：

悖论需要满足两个方向都能推出矛盾，即从给定条件得出的结论A 可以推出结论\urcorner A ，而从结论\urcorner A 可以推出结论A

\varphi(x)=x\notin x ，考虑A=\{x|x\notin x\} ，A\in A\Rightarrow A\notin A;A\notin A\Rightarrow A\in A ，因此条件\varphi(x)=x\notin x 不能规定一个集合

空集：

\{x|x\ne x\} 是集合，且根据外延公理，这个集合是唯一的，称为空集

空集是集合证明：由于存在公理0，至少有一个集合存在，又根据分离公理，因而存在集合X ，使得\{x|x\in X\wedge \varphi(x)\} 是集合；

又因条件\varphi(x):x\ne x 是不可满足的，\forall X,\varphi(x)\rightarrow x\in X是永真式， 从而\{x|x\ne x\}=\{x|x\in X\wedge \varphi(x)\} 是集合。

空集唯一性证明：X=Y\Leftrightarrow\forall x(x\in X\leftrightarrow x\in Y)\Leftrightarrow\forall x(x\notin X\leftrightarrow x\notin Y) ，又因\forall y(y\in\emptyset=\{x|x\ne x\}\Leftrightarrow y\ne y) ，\urcorner \exists y(y\in \emptyset) ，因此

若有两个空集\emptyset_1,\emptyset_2 ，\forall x(x\notin \emptyset_1\leftrightarrow x\notin \emptyset_2) 是永真式，因此\emptyset_1=\emptyset_2

对集公理3

\forall a\forall b\exists c\forall x(x\in c\leftrightarrow x=a\vee x=b)

根据外延公理1，这样的集合c 是唯一的；单点集\{a\}=\{a,a\} 是集合

并集公理4

\forall X\exists Y\forall u(u\in Y\leftrightarrow\exists v(v\in X\wedge u\in v))

并集：\forall X\forall Y(X\subseteq Y\Leftrightarrow \forall x(x\in X\rightarrow x\in Y)\Leftrightarrow\forall x(x\notin Y\rightarrow x\notin X))

由并集的定义可知\forall A(\emptyset\subseteq A)

幂集公理5

\forall X\exists Y\forall x(x\in Y\leftrightarrow x\subseteq X)

对于一个集合X ，这样的集合Y 是唯一的，称为幂集，记为P(X)

无穷公理6

\exists X(\emptyset\in X\wedge\forall x(x\in X\rightarrow x\cup\{x\}\in X))

存在集合X ，\emptyset\in X ，并且对任意x\in X ，x 的后继x\cup\{x\} 也属于X 。

正则公理7

\forall x(x\ne \emptyset\rightarrow\exists y(y\in x\wedge x\cap y=\emptyset))

正则公理说明：任意集合都不属于自身。否则，若存在集合x,x\in x ，则令I=\{x\} ，根据正则公理，I 的唯一一个元素x ，满足x\cap I=x\cap\{x\}=\emptyset ，

这与x\in x 矛盾。

正则公理规定无穷下降链不存在。因为任意x_k ，都有x_{k+1}\in x_k ，因此任意x_k\cap I\ne \emptyset ，这不符合正则公理。

实际上，若没有正则公理规定无穷下降链不存在，则这种无穷下降链产生的无底集会产生悖论：

令A为所有有底集组成的集合，由A是无底集可推出A中包含无底集，这是矛盾的；有A是有底集可以推出A属于A，因此可以构造无穷下降链，这推出A是无底集，矛盾。

替换公理8

对于给定的公式\psi(x,y) ，有\forall A\forall x\in A\exists!y\psi(x,y)\rightarrow \exists B\forall x \in A\exists y\in B\psi(x,y)

替换公理说明，一个集合在函数下的像仍然是集合