自然数和实数集

概念

归纳集

自然数集ω 是归纳集， ω 恰好包含一切属于每个归纳集的元素，因而是每个归纳集的子集。注意ω 不是所有归纳集的交集，因为一切归纳集形成不了集合。

Peano公理

归纳原理

有限集

集合A是有限集当且仅当存在自然数n使得 A≈n

结论

（一）开区间（0，1）等势于实数集 R 。

（二）ω×ω≈ω 。

证明方法：单射显然，满射用归纳法证明

（三）ω 不可能等势于实数区间[0,1)。

（四）\forall X,P(X)\approx 2^X 。

（五）与0等势的集合只有它自己，特别地，与0等势的自然数只有它自己。

以上五个结论的证明都只需构造简单的双射

（六）对于任何自然数m，n， m≈n⇒m=n 。

归纳法证明

（七）设B是自然数n的真子集，则存在一个自然数m[InvalidCharacterError: "<span" did not match the Name production]

这说明任何有限集不可能与它的真子集等势，如果某个集合与其某一真子集等势，则这个集合是无限集。

（八）任意无穷集都有一子集与自然数集等势，即自然数集总是受制于无穷集

证明：基于选择公理，可以从A中选择a_0 ，从A-\{a_0\} 中选择a_1 ，从A-\{a_0,a_1\} 中选择a_2 。

由于A是无穷集，所以按照这样的步骤无休止进行下去可以得到集合\{a_0,a_1,....\} ，这是A的子集，且与\omega 等势。

（九）任意无穷集都与其某一真子集等势

证明：由结论（八）知\omega\preceq A ，于是存在单射g:\omega\rightarrow A ，令B=A-\{g(0)\} ，B是A的真子集；

构造A和B之间的双射\psi(g(n))=\psi(g(n^+)),\psi(x)=x(x\notin ran(g))

（十）可列个可列集的并集可列

（十一）（Cantor定理）X\prec P(X)

证明：X\preceq P(X) 易证

下面需要证明X不等势于P(X)：构造集合B=\{x\in X|x\notin f(x)\} ，x_B=B\rightarrow(x_B\in B\leftrightarrow x_B\notin f(x_B)=B)

这个结论说明没有势最大的集合，因为任何集合，其幂集的势肯定必其自身的势更大