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反例：

a_n=\left(\frac {3} {\sqrt{5}} \right)^n,b_n= \begin{cases} 3^n ,odd\\ \frac 1 {n},even \end{cases}

则有

R_1=\frac{1}{\overline{\lim_{n\rightarrow \infty}}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{\sqrt{5}}{3}, R_2=\frac{1}{\overline{\lim_{n\rightarrow \infty}}\sqrt[n]{|b_n|}}=\frac{1}{3}

但是

\frac{a_n^2}{b_n^2}= \begin{cases} \frac{1}{5^n},odd\\ \\ n^2\left(\frac{9}{5}\right)^n,even \end{cases} ,R_3=\frac{1}{\overline{\lim_{n\rightarrow \infty}}\sqrt[n]{|\frac{a_n^2}{b_n^2}|}}=\frac{5}{9}