随机事件及其概率
第一章 随机事件及其概率
- 人们所观察的现象大致可分为两类——确定性现象或随机现象，一类是实现可以预知结果的现象，一类是事前不能预知结果的现象。在统计学中，我们将所有的现象都视作是随机现象进行研究。
1.1 基本概念
1.1.1 随机试验与事件
- 满足以下两个条件的可称为随机试验
（1）在相同条件下可以重复进行；
（2）每次试验结果事先不可预知，但所有可能的试验结果事先知道.
一般用字母E表示随机试验，如E1：抛掷一颗骰子，观察出现的点数.
- 对于一个随机试验，我们把所有可能的试验结果组成的集合称为该试验的样本空间，记为Ω. 样本空间中的每个元素称为样本点. 若以Ω1表示试验E1的样本空间，则Ω1={1,2,3,4,5,6}
- 对于样本空间，应注意：
（1）样本空间是一个集合，由样本点组成，可以用列举法或描述法表示
（2）在样本空间中，样本点可以是一维的，也可以是多维的，其个数既可以是有限的，也可以是无限的
（3）对于一个随机试验而言，试验的目的不同，样本空间也往往不同
- 我们把样本空间的人一个子集称为一个随机事件，简称为事件，通常用大写字母A,B,C……进行表示. 因此，随机事件就是随机试验的某些结果（样本点）组成的结合
样本空间 Ω是自身的子集，表示必然事件的发生；空集 Ø 中不包含样本点，表示不可能事件
单个样本点形成的子集称为基本事件；多个样本点形成的子集称为复合事件
集合可根据元素的数量分为有限集与无限集，无限集又可根据集合元素可否以某种方式列举分为可数集与不可数集；有限集与无限集中的可数集属于离散样本空间，无限集中的不可数集成为非离散样本空间
1.1.2 事件的关系与运算
- 因为事件是集合，即样本空间的子集，因此事件之间的关系和运算可按照集合之间的关系和运算来处理
(1) 包含关系
若A的发生必然导致B的发生，则记为A ⊆ B 或B ⊇ A，即A的元素全部属于B
(2) 相等关系
若A ⊇ B且B ⊇ A，则称作A与B相等，记为A=B
(3) 事件的和
对于两个事件A和B，定义事件C={A发生或B发生}，则C称作A、B的和事件，记为C=A∪B
(4) 事件的积
对于两个事件A和B，定义事件C={A发生且B发生}，则C称作A、B的积事件，记为C=A∩B
(5) 事件的差
对于两个事件A和B，定义事件C={A发生且B不发生}，则C称作A与B的差事件，记为C=A-B或A\B
(6) 互斥事件
若两个事件A与B不能同时发生，即AB＝∅，则称A与B是互斥事件
(7) 对立事件
“A不发生”的事件称为事件A的对立事件，记为 Ā ，即 Ā =Ω-A，并称A与 Ā 为互逆事件
- 设A,B,C为事件，根据集合的运算规则，有以下事件运算规则.
（1）交换律：A∪B=B∪A；AB=BA
（2）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；（AB）C=A（BC）
（3）分配率：A∪（B∪C）=（AB）∪（BC）；A∪（BC）=（A∪B）（A∪C）
（4）对偶律： A∪B的对立事件=A的对立·B的对立；AB的对立事件=A的对立∪B的对立（长变短，积和换）