概率空间

先从几何概型说起，我们这样描述几何概型：

在区域\Omega 中随机选取一点，这点落在某区域\alpha 之中的概率为P(A_\alpha)=m(\alpha)/m(\Omega)

考虑浦丰投针问题：

在平面上画一些等距的平行线，平行线之间的距离为a(l[InvalidCharacterError: "A)<" did not match the Name production] ，针长为l ，\varphi(0<=\varphi<=\pi) 表示针与平行线的夹角，则针与平行线相交的概率可以这样考虑：令x(x<=a/2) 表示针的中点到最近一条平行线的距离，则P=\frac{m(g)}{m(G)}=\frac{\frac{1}{2}\int_0^\pi\mathrm{{l}\sin{\varphi}}\,\mathrm{d}\varphi}{\frac{1}{2}a\pi}=\frac{2l}{\pi{a}}

非负性：对任何概率A ，P(A)>=0

规范性：P(\Omega)=1

可列可加性：若A_1,A_2,... 两两不相容，则P(\sum_{n=1}^{\infty}A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)

样本空间：抽象的样本点\omega 全体构成样本空间\Omega

事件：事件A 定义为样本空间\Omega 的一个子集，它包含若干样本点，事件发生当且仅当事件所包含的样本点中有一个发生

[InvalidCharacterError: "SPA<" did not match the Name production] -域：满足以下三个要求的\Omega 的子集构成的集类F

（i）\Omega\in{F}

（ii）若A\in{F} ，则\overline{A}\in{F}

（iii）若A_n\in{F},n=1,2,... ，则\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n

事件域：若F 是由样本空间\Omega 的子集构成的一个\sigma -域，则称F 为事件域，F 中的元素称为事件

概率：定义在事件域F 上的一个集合函数P 称为概率，若它满足如下三个要求：

非负性：P(A)\geq0,\forall{A}\in{F}

规范性：P(\Omega)=1

可列可加性：若A_i\in{F},i=1,2,... ，且两两不相容，则P(\sum_{n=1}^{\infty}A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)

概率空间的例子：

有限概率空间：

古典概型是有限概率空间的特例，此时所有样本点都被看做事件

离散概率空间：

样本空间\Omega 由可列个点\{{\omega_1}{,}{\omega_2}{,...}\} 构成，样本点被看作事件，则概率由一组满足\sum_{i=1}^{\infty}p_i=1 的可列个非负整数p_1,p_2,... 定义，其中P(\omega_i)=p_i,i=1,2,...

\Omega=R^1 :

样本空间由实数全体构成，此时不能选取R^1 中的一切子集构成事件域，二应该选取直线上的左闭右开区间（博雷尔点集）全体构成事件域；

类似地，若不是实数全体，也可采用类似方法处理

\Omega=R^n :

选择n维欧氏空间中的博雷尔点集全体构成事件域

概率加法公式：P(A\bigcup{B})=P(A)+P(B)-P(A\bigcap{B})

一般加法公式：P(A_1\bigcup{A_2}\bigcup...\bigcup{A_n}） P({A_1}\bigcup{A_2}\bigcup{...}\bigcup{A_n})=\sum_{i=1,2,...}{P(A_i)}-\sum_{i[InvalidCharacterError: "J}{P({A_I}{A_J})}+{...}+{(-1)}^{N-1}P({A_1}{A_2}...{A_N})<" did not match the Name production]

布尔不等式：P(A\bigcup{B})\leq{P(A)+P(B)}

Bonferroni不等式：P(AB)\geq{P(A)+P(B)-1}

虽说一般的样本空间的所有子集构成的集类可以证明是一个\sigma -域，但过大的事件域会给概率的定义带来困难，例如几何概型就不会把不可测集作为事件；

特别地，有限概率空间和离散概率空间可以选取\Omega 的子集全体作为事件域

若P 是F 上满足P(\Omega)=1 的非负几何函数，则它具有可列可加性的充要条件为：

（i）它是有限可加的

（ii）它是下连续的，即若S_n\in{F},n=1,2,...,S_n\in{S_{n+1}} ，则\lim_{n\to\infty}{P(S_n)}=P(\lim_{n\to\infty}S_n)

例题

1）积分计算的蒙塔卡罗方法

2）（最大车牌号问题）某型号卡车有N辆，标号从1到N，随机重一个路口开过，经过此路口时车子的标号被记下，问超导的最大号码正好是k的概率

记事件A_k 为抄到的最大车牌号为k，事件B_k 为抄到的车牌号不大于kP(A_k)=P(B_k)-P(B_{k-1})

3）（匹配问题）n封信随机匹配n个信封，每封信与每个正确的信封只有一种正确的一一对应关系，求至少有一封信匹配正确的概率

使用一般的概率加法公式