随机变量

定义在概率空间(\Omega,F,P) 上的，把样本点映射到实数集的单值实函数\xi(\omega) ，满足对于直线上任意博雷尔点集B ，有\{\omega:\xi(\omega)\in{B}\}\in{F} ，则称为随机变量，P\{\xi(\omega)\in{B}\} 称为随机变量\xi(\omega) 的概率分布

称F(x)=P\{\xi(\omega)[InvalidCharacterError: "X\},-\INFTY<X<\INFTY<" did not match the Name production] 为随机变量\xi(\omega) 的分布函数

（i）单调性：若a[InvalidCharacterError: "B<" did not match the Name production] ，则F(a)\leq{F(b)}

（ii）有界性：\lim_{x\to-\infty}F(x)=0,\lim_{x\to\infty}F(x)=1

（iii）左连续性：F(x-0)=F(x) ，（对应于概率的下连续性）

连续型随机变量特殊在于其分布函数是绝对连续的，即对于其分布函数F(x) ，\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0 ，使得任意有限个在定义域内不相交的区间(a_1,b_1),...(a_n,b_n) ，若满足\sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)<\delta ，则有\sum_{i=1}^{n}|F(b_i)-F(a_i)|<\varepsilon

由于其分布函数F(x) 绝对连续，所以存在可积函数p(x) ，使得F(x)=\int_{-\infty}^{x}p(y)dy

满足F(x)=\int_{-\infty}^{x}p(y)dy 的可积函数p(x) 称为随机变量\xi(\omega) 的密度函数

若随机变量\xi_1(\omega),\xi_2(\omega),...\xi_n(\omega) 定义在同一概率空间(\Omega,F,P) 上，则称\xi(\omega)=(\xi_1(\omega),...,\xi_n(\omega)) 为一个n维随机向量，或n维随机变量

对于R^n 中的n维矩形C_n=\prod_{i=1}^{n}(-\infty,x_i) ，有\{\xi(\omega)\in{C_n}\}\in{F} ，对于R^n 上的任意博雷尔点集B_n ，也有\{\xi(\omega)\in{B_n}\}\in{F}

称n元函数F(x_1,...,x_2)=P\{\xi_1(\omega)[InvalidCharacterError: "X_1,...,\XI_N(\OMEGA)<X_N\}<" did not match the Name production] 为随机向量\xi(\omega)=(\xi_1(\omega),...,\xi_n(\omega)) 的（联合）分布函数

随机向量的（联合）分布函数的性质

（i）单调性：关于每个变元是非减函数

（ii）有界性：F(x_1,...,-\infty,...,x_n)=0,F(+\infty,...,+\infty)=1

（iii）左连续：关于每个变元左连续

（iv）不等式：对任意a_1[InvalidCharacterError: "B_1,A_2<B_2<" did not match the Name production] ，有F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)-F(b_2,a_1)+F(a_1,a_2)\geq0