边际分布与条件分布

考虑离散的二维随机向量(\xi,\eta),\xi\in\{x_1,x_2,...\},\eta\in\{y_1,y_2,...\} ，其分布函数为p(x_i,y_j)=P\{\xi=x_i,\eta=y_j\},i,j=1,2,,...

则对任意固定的i ，p_1(x_i)=P\{\xi=x_i\}=\sum_{j}P\{\xi=x_i,\eta=y_j\} ，以及任意固定的j，p_2(y_j)=P\{\eta=y_j\}=\sum_{i}P\{\xi=x_i,\eta=y_j\}

p_1(x_i) 和p_2(y_j) 称为p(x_i,y_j) 的边际分布

考虑连续的二维随机变量(\xi,\eta) ，其分布函数为F(x,y) ，则可以由F(x,y) 得出\xi 和\eta 的分布函数

其中F_1(x),F_2(y) 称为F(x,y) 的边际分布函数，其对应的密度函数分别为p_1(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}p(x,y)dy,p_2(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}p(x,y)dx

考虑离散的二维随机向量(\xi,\eta),\xi\in\{x_1,x_2,...\},\eta\in\{y_1,y_2,...\} ，其分布函数为p(x_i,y_j)=P\{\xi=x_i,\eta=y_j\},i,j=1,2,,...

若已知\xi=x_i(p_1(x_i)>0) ，则事件\{\eta=y_j\} 的条件概率为P\{\eta=y_i|\xi=x_i\}=\frac{P\{\xi=x_i,\eta=y_i\}}{P\{\xi=x_i\}}=\frac{p(x_i,y_j)}{p_1(x_i)}

考虑连续的二维随机变量(\xi,\eta) ，其分布函数为F(x,y) ，是绝对连续的，则在\xi=x 成立的条件下，事件\{\eta[InvalidCharacterError: "Y\}<" did not match the Name production] 的条件概率可以这样定义：

特别地，若存在连续的密度函数且p_1(x)\neq0 ，则有P\{\eta[InvalidCharacterError: "Y|\XI=X\}=\LIM_{\DELTA{X}\TO0}\FRAC{\INT_{X}^{X+\DELTA{X}}\INT_{-\INFTY}^{Y}P(U,V)DUDV}{\INT_{X}^{X+\DELTA{X}}\INT_{-\INFTY}^{+\INFTY}P(U,V)DUDV}=\FRAC{\INT_{-\INFTY}^{Y}P(X,V)DV}{P_1(X)}=\INT_{-\INFTY}^{Y}\FRAC{P(X,V)}{P_1(X)}DV<" did not match the Name production]

因此可知在\xi=x 的条件下p_1(x)\neq0 时，\eta 的分布密度函数为\frac{p(x,y)}{p_1(x)} ，同理在\eta=y 的条件下p_2(y)\neq0 时，\xi 的分布密度函数为\frac{p(x,y)}{p_2(y)}