随机变量的函数及随机变量的函数的分布
随机变量的函数及其分布
随机变量的函数是否还是随机变量？函数需要满足什么要求？
离散随机变量的函数若是随机变量，其分布列如何计算？
一元连续随机变量的函数若是随机变量，其分布函数如何？是否存在密度函数？
随机向量的函数（和、商、顺序统计量）的分布如何？若是稍复杂的函数呢？
随机变量（向量）的函数若是随机变量，相互之间独立的条件是？
随机变量的函数是否还是随机变量，函数需要满足什么要求？
随机变量是定义在概率空间上的实值函数，它将样本点映射到实数集上，而且要求实数集上的博雷尔点集的原像被包含在事件域内，即是事件。
所以我们要求随机变量的函数映射出的一切博雷尔点集的原像都是博雷尔点集。
一元博雷尔函数
g:R^1\to{R^1} ，若对一切R^1 中的博雷尔点集B_1 均有\{x:g(x)\in{B_1}\}\in{B_1} ，则称g(x) 是一元博雷尔（可测）函数
已知所有的连续函数和单调函数都是博雷尔函数
n元博雷尔函数
g:R^n\to{R^1} ，若对一切R^1 中的博雷尔点集B_1 均有\{(x_1,...,x_n):g(x_1,...,x_n)\in{B_1}\}\in{B_n} ，则称g(x_1,...,x_n) 是n元博雷尔（可测）函数
因此，对于一元随机变量[InvalidCharacterError: "<" did not match the Name production] ，以及一元博雷尔函数g:R^1\to{R^1} ，g(\xi(\omega)) 是定义在概率空间(\Omega,F,P) 上的随机变量；对于n元随机向量(\xi_1,...,\xi_n) ，以及n元博雷尔函数g:R^n\to{R^1} ，g(\xi_1(\omega),...,\xi_n(\omega)) 是定义在概率空间(\Omega,F,P) 上的随机变量
离散随机变量的函数若是随机变量，其分布列如何计算？
例子（离散卷积公式）：\xi,\eta 是相互独立的随机变量，它们都取非负整数值，其概率分布分别是\{a_k\},\{b_k\} ，则随机变量\zeta=\xi+\eta 的概率分布可以这样计算：\{\zeta=r\}=\{\xi=r,\eta=0\}+\{\xi=r-1,\eta=1\}+...+\{\xi=1,\eta=r-1\}+\{\xi=0,\eta=r\} ，则c_r=P\{\zeta=r\}=\sum_{i=1}^{n}a_ib_{n-i},r=0,1,2,...
一元连续随机变量的函数若是随机变量，其分布函数如何？是否存在密度函数？
分两种情况讨论，随机变量的函数f(x) 严格单调，以及随机变量的函数f(x) 在不重叠的区间上逐段严格单调
严格单调的情形
若f(x) 严格单调，则其存在具有连续导函数的反函数f^{-1}(y) ，则\eta=f(\xi) 是具有密度函数p[f^{-1}(y)]|[f^{-1}(y)]'| 的连续型随机变量
推导如下：P\{\eta[InvalidCharacterError: "A\}=P\{F(\XI)<A\}=P\{\XI\IN{E(A)}\}=\INT_{E(A)}P(X)DX=\INT_{-\INFTY}^{A}P[F^{-1}(Y)]|[F^{-1}(Y)]'|DY<" did not match the Name production]
逐段严格单调的情形
若f(x) 在不重叠的区间I_1,... 上逐段严格单调，其反函数分别为h_1(y),... ，而且h_1^{'}(y),... 均为连续函数，则\eta=f(\xi) 是连续型随机变量，其密度函数为\sum_ip(h_i(y))|h_i^{'}(y)| ，推导如下：P\{\eta[InvalidCharacterError: "A\}=P\{F(\XI)<A\}=P\{\XI\IN\SUM_{I}E_{I}(A)\}=\SUM_{I}\INT_{E_I}P(X)DX=\SUM_{I}\INT_{-\INFTY}^{A}P[H_I(Y)]|H_I^{'}(Y)|DY=\INT_{-\INFTY}^{A}\SUM_{I}P[H_I(Y)]|H_I^{'}(Y)|DY<" did not match the Name production]
随机向量的函数（和、商、顺序统计量）的分布如何？若是稍复杂的函数呢？
和的分布
\eta=\xi_1+\xi_n 是随机变量，(\xi_1,\xi_2) 的联合分布密度函数是p(x_1,x_2) ，则\eta 分布为F(y)=P\{\eta[InvalidCharacterError: "Y\}=\IINT_{X_1+X_2<Y}P(X_1,X_2)DX_1DX_2" did not match the Name production]
=\int_{-\infty}^{y-x_2}\int_{-\infty}^{+\infty}p(x_1,x_2)dx_1dx_2
=\int_{-\infty}^y\int_{-\infty}^{+\infty}p(x_1-x_2,x_2)dx_1dx_2
所以其密度函数为p(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}p(u,y-u)du=\int_{-\infty}^{+\infty}p(y-u,u)du
若\xi_1,\xi_2 相互独立，则有p(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}p_1(u)p_2(y-u)du=\int_{-\infty}^{+\infty}p_1(y-u)p_2(u)du
商的分布
\eta=\frac{\xi_1}{\xi_2} 是随机变量，(\xi_1,\xi_2) 的联合分布密度函数是p(x_1,x_2) ，则\eta 分布为
G(y)=P\{\eta[InvalidCharacterError: "Y\}=P\{\FRAC{\XI_1}{\XI_2}<Y\}=\IINT_{\FRAC{X_1}{X_2}<Y}P(X_1,X_2)DX_1DX_2" did not match the Name production]
故分布密度函数为g(y)=\int_0^\infty{p(yz,z)z}dz-\int_{-\infty}^0p(yz,z)zdz
=\int_{-\infty}^{\infty}p(yz,z)\left|z\right|dz
顺序统计量
\xi_1,...,\xi_n 是独立同分布的随机变量，分布函数为F(x) ，密度函数为f(x) ，将它们升序排列后得到\xi_1^*\leq...\leq\xi_n^*
1）\xi_n^* 的分布
P\{\xi_n^*[InvalidCharacterError: "X\}=P\{\XI_1<X,...,\XI_N<X\}=P\{\XI_1<X\}...P\{\XI_N<X\}=\LEFT[F(X)\RIGHT]^N<" did not match the Name production]
2）\xi_1^* 的分布
P\{\xi_1^*\geq{x}\}=P\{\xi_1\geq{x},...,\xi_n\geq{x}\}=P\{\xi_1\geq{x}\}...P\{\xi_n\geq{x}\}=\left[1-F(x)\right]^n
因此P\{\xi_1^*[InvalidCharacterError: "X\}=1-P\{\XI_1^*\GEQ{X}\}=1-\LEFT[1-F(X)\RIGHT]^N<" did not match the Name production]
3）(\xi_1^*,\xi_n^*) 的联合分布
分布函数
记G(x,y)=P\{\xi_1^*[InvalidCharacterError: "X,\XI_N^*<Y\}<" did not match the Name production] ，
若x\geq{y} ，G(x,y)=P\{\xi_n^*[InvalidCharacterError: "Y\}=\LEFT[F(Y)\RIGHT]^N<" did not match the Name production]
若x[InvalidCharacterError: "Y<" did not match the Name production] ，G(x,y)=P\{\xi_n^*[InvalidCharacterError: "Y\}-P\{\XI_1^*\GEQ{X},\XI_N^*<Y\}=\LEFT[F(Y)\RIGHT]^N-\LEFT[F(Y)-F(X)\RIGHT]^N<" did not match the Name production]
密度函数
g(x,y)=\left{
\right} g(x,y)=
\begin{cases}
0&x{\geq}y\\
n(n-1)\left[F(y)-F(x)\right]^{n-2}f(x)f(y)& &x[InvalidCharacterError: "\end{cases}" did not match the Name production]
4）R=\xi_n^*-\xi_1^*
分布函数
当r\leq0 时，R\geq{r} ，P\{R\leq{r}\}=0
当r>0 时，P\{R[InvalidCharacterError: "R\}=\IINT_{Y-X<R}G(S,Y)DXDY" did not match the Name production]
密度函数
f_R(r)=\int_{-\infty}^{\infty}g(x,x+r)dx
=n(n-1)\int_{-\infty}^{\infty}\left[F(x+r)-F(x)\right]^{n-2}f(x)f(x+2)dx
随机向量的变换（变量替换）
对于y_i=f_i(x_1,...,x_n),i=1,2,...,n 存在唯一的反函数x_i(y_1,...,y_n)=x_i,i=1,2,...,n ，且(\eta_1,...,\eta_n) 的联合分布函数是q(y_1,...,y_n) ，则其分布函数为
G(y_1,...,y_n)=\int...\int_{u_i[InvalidCharacterError: "Y_I}Q(U_1,...,U_N)DU_1...DU_N" did not match the Name production]
可知密度函数q(y_1,....,y_n)=\begin{cases}
q(y_1,...,y_n)=\begin{cases}
p(x_1,...,x_n)\left|J(\frac{\partial{x}}{\partial{y}})\right|&&(y_1,...,y_n)\in{Dom}\{f_1,...,f_n\}\\
0&&y_1,...,y_n)\notin{Dom}\{f_1,...,f_n\}
\end{cases}
随机变量的函数若是随机变量，相互之间独立的条件是？
随机变量函数相互独立的充要条件
随机变量相互独立且随机变量的函数都是博雷尔函数。
证明：
\xi_1,...,\xi_n 是相互独立的随机变量，f_1,...,f_n 是任意的一元博雷尔函数，A_1,...,A_n 是任意的一维博雷尔点集，则有
P\{f_1(\xi_1)\in{A_1},...,f_n(\xi_n)\in{A_n}\}
=P\{\xi_1\in{f_1^{-1}(A_1)},...,\xi_n\in{f_n^{-1}(A_n)}\}
=P\{\xi_1\in{f_1^{-1}(A_1)}\}...P\{\xi_n\in{f_n^{-1}(A_n)}\}
=P\{f_1(\xi_1)\in{A_1}\}...P\{f_n(\xi_n)\in{A_n}\}