一阶微分方程解法

可分离变量的常微分方程以及一阶线性微分方程的解法

解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程

可写成g(x)dx=h(y)dy 的一阶微分方程称作可分离变量的常微分方程

对g(x)dx=h(y)dy 两端进行不定积分{\int}g(x)dx={\int}h(y)dy ，解得H(y)=G(x)+C 称为原方程组的隐式（通）解

定义一：若一阶微分方程可以化成\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x}) 的形式，那么就称此方程为齐次方程

定义二：如果微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 中的函数P(x,y),Q(x,y) 中的x,y 的次数是一样的（例如m次），即P(tx,ty)=t^mP(x,y),Q(tx,ty)=t^mQ(x,y) ，则 微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 为齐次方程

做变量替换y=ux ，则\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x}){\Rightarrow}u+x\frac{du}{dx}=\varphi(u){\Rightarrow}\frac{1}{\varphi(u)-u}du=\frac{1}{x}dx 或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0{\Rightarrow}P(x,ux)dx+Q(x,ux)(udx+xdu){\Rightarrow}x^m[P(1,u)+uQ(1,u)]dx+x^{m+1}Q(1,u)du=0

{\Rightarrow}\frac{1}{x}dx+\frac{Q(1,u)}{P(1,u)+uQ(1,u)}du=0

化为变量分离方程求解

讨论形如\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{ax+by+c}{mx+ny+k}\right) 的方程

1）当c=k=0 时，原方程变为\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{ax+by}{mx+ny}\right) 是齐次方程，可化为变量分离方程求解

2）当c,k 不全为0，且\Delta=an-bm\neq0 ，方程\begin{cases} ap+bq+c=0\\ mp+nq+k=0 \end{cases} 有唯一解，解得p,q ，对x,y 做变换\begin{cases} x=X+p\\ y=Y+q \end{cases} ，于是原方程变为\frac{dY}{dX}=f\left(\frac{aX+bY}{mX+nY}\right) 是齐次方程，可化为变量分离方程求解

3）当c,k 不全为0，且\Delta=an-bm=0 ，此时存在\lambda ，s.t.m=\lambda{a},n=\lambda{b} ，于是原方程变为\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{ax+by+c}{\lambda(ax+by)+k}\right) ，再做变量替换\begin{cases} v=ax+by\\ x=x \end{cases} ，得到方程\frac{dv}{dx}=a+bf\left(\frac{v+c}{\lambda{v}+k}\right) \Rightarrow \frac{1}{a+bf\left(\frac{v+c}{\lambda{v}+k}\right)}dv=dx 可化为变量分离方程

形如\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) 的方程称为一阶线性方程

若一阶线性方程的自由项q(x)=0 则称为齐次线性方程，否则称为非齐次线性方程

齐次线性微分方程可写作\frac{dy}{y}=-p(x)dx,y\neq0 ，等号两端同时进行不定积分，解得y=Ce^{-\int{p(x)}dx}

将方程改写成dy+p(x)ydx=q(x)dx ，以因子u(x)=e^{\int{p(x)}dx} 乘等号两端，得到一个全微分形式的方程e^{\int{p(x)}dx}dy+e^{\int{p(x)}dx}p(x)ydx=e^{\int{p(x)}dx}q(x)dx ，对等号两端进行不定积分，得到e^{\int{p(x)}dx}y=\int{q(x)}e^{\int{p(x)}dx}dx+C ，于是有通解y=e^{-\int{p(x)}dx}\left(\int{q(x)}e^{\int{p(x)}dx}dx+C\right)

假设原方程的解有这样的形式y=u(x)e^{-\int{p(x)}dx} ，其中u(x) 是未知函数，则将y=u(x)e^{-\int{p(x)}dx} 代入原方程\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) ，得到u'(x)e^{-\int{p(x)}dx}-u(x)p(x)e^{-\int{p(x)}dx}+u(x)p(x)e^{-\int{p(x)}dx}=q(x) ，亦即u'(x)=e^{\int{p(x)}dx}q(x) ，对等号两端进行不定积分，得u(x)={\int}e^{\int{p(x)}dx}q(x)dx+C ，则通解为y=e^{-\int{p(x)}dx}\left({\int}e^{\int{p(x)}dx}q(x)dx+C\right)

考虑一阶微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 ，若存在可微函数\Phi(x,y),s.t.d\Phi(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy ，亦即\frac{\partial{\Phi}}{\partial{x}}=P(x,y),\frac{\partial{\Phi}}{\partial{y}}=Q(x,y) ，则称方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 为恰当方程或全微分方程

\Phi(x,y)=C,{C}\in{R}

方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 为恰当方程的充要条件是\frac{\partial{P}}{\partial{y}}(x,y)=\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}(x,y)

形如\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n,(n\neq0,1) 的方程叫伯努利方程

用变量代换方法将其化为线性方程求解

\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n{\Rightarrow} y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x){\Rightarrow} \frac{1}{1-n}\frac{d(y^{1-n})}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)

{\Rightarrow} \frac{d(y^{1-n})}{dx}+(1-n)P(x)y^{1-n}=(1-n)Q(x)