高阶常系数微分方程的解（以二阶为例）

掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程

会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程

考虑二阶齐次线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=0 ，设y_1(x),y_2(x) 是微分方程的两个解，则y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) 也是方程的解

进一步，若y_1(x),y_2(x) 是微分方程的两个线性无关的特解，则y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) 是方程的通解

考虑二阶非齐次微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) ，y^*(x) 是原方程的一个特解，y_1(x),y_2(x) 是对应的二阶齐次微分方程的两个线性无关的特解，则原方程的通解可以表示为y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x)

若y_1^*(x),y_2^*(x) 分别是方程y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x),y''+p(x)y'+q(x)y=f_2(x) 的特解，那么y_1^*(x)+y_2^*(x) 是方程y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)+f_2(x) 的特解

考虑二阶常系数齐次线性微分方程y''+py'+q=0 ，它的解具有形式y=e^{rx} ，其中r 是常数。将y=e^{rx} 代入y''+py'+q=0 ，得到e^{rx}(r^2+pr+q)=0 ，于是有特征方程r^2+pr+q=0

1）当特征方程具有两个不同的实数根时，亦即存在\exists{r_1,r_2}\in{R},r_1\neq{r_2} ，s.t.y_1(x)=e^{r_1x},y_2(x)=e^{r_2x} 时原方程的两个线性无关的特解，于是y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} 是方程的通解

2）当特征方程具有两个相同的实数根时，亦即\exists{r}\in{R},r_1={r_2}=r ，s.t.y(x)=e^{rx} 是方程的特解，假设方程有另一个不同的解y(x)=u(x)e^{rx} ，将之代入原方程，得到u''+(r^2+pr+q)u'+(2r+p)=0 ，由于r 是特征方程的重根，故有r^2+pr+q=0,2r+p=0 ，于是u''=0,u(x)=C_1x+C_2 ，于是方程的通解为y(x)=(C_1x+C_2)e^{rx}

3）当特征方程具有两个共轭的复根时，亦即\exists\alpha,\beta\in{R},r_1=\alpha+i\beta,r_2=\alpha-i\beta 是特征方程的两个根，则原方程有两个特解y_1(x)=\frac{1}{2}(e^{r_1x}+e^{r_2x})=e^{\alpha{x}}\cos\beta{x} ,y_2(x)=\frac{1}{2i}(e^{r_1x}-e^{r_2x})=e^{\alpha{x}}\sin\beta{x} ，所以微分方程的通解为y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)=e^{\alpha{x}}(C_1\cos\beta{x}+C_2\sin\beta{x})

对于非齐次的方程，只需求出其特解，亦即对应的齐次方程的通解，加起来即得到原方程的通解

自由项为[InvalidCharacterError: "S<" did not match the Name production]

1）\lambda 不是特征方程的根

特解为y^*(x)=Q_m(x)e^{\lambda{x}} ，m 次多项式Q_m(x) 各项由待定系数法求得

2）\lambda 是特征方程的单根

特解为y^*(x)=xQ_m(x)e^{\lambda{x}} ，m 次多项式Q_m(x) 各项由待定系数法求得

3）\lambda 是特征方程的重根

特解为y^*(x)=x^2Q_m(x)e^{\lambda{x}} ，m 次多项式Q_m(x) 各项由待定系数法求得

自由项为[InvalidCharacterError: "S<" did not match the Name production]

特解为y^*(x)=x^ke^{\lambda{x}}[R_m^{(1)}(x)cos \omega{x}+R_m^{(2)}(x)sin\omega{x}] ，m=max\{l,n\} ，其中若\lambda+i\omega(\lambda-i\omega) 不是特征方程的根则k=0，若是单根则k=1

考虑非齐次线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) ，对应的齐次线性方程的通解为y(x)=C_1y_x(x)+C_2y_2(x) ，则可以假设原方程的某个特解具有形式y(x)=y_1(x)v_1(x)+y_2(x)v_2(x) ，假设y(x) 满足原方程，以及y_1v_1'+y_2v_2'=0 ，将y,y',y'' 代入原方程后，得y_1'v_1'+y_2'v_2'=f ，于是解得

v_1'=-\frac{y_2f}{y_1y_2'-y_2y_1'},v_2'=\frac{y_1f}{y_1y_2'-y_2y_1'} ，故有v_1=C_1+\int\left(-\frac{y_2f}{y_1y_2'-y_2y_1'}\right)dx,v_2=C_2+\int\left(\frac{y_1f}{y_1y_2'-y_2y_1'}\right)dx ,

从而通解为y(x)=C_1y_1+C_2y_2-y_1\int\left(\frac{y_2f}{y_1y_2'-y_2y_1'}\right)dx+y_2\int\left(\frac{y_1f}{y_1y_2'-y_2y_1'}\right)dx