3.23习题

1、求\lim_{x\to0}\frac{{\sqrt{1-x^2}}\sin^2x-\tan^2x}{x^2\left[\ln (1+x)\right]^2} ，（考点：Taylor展开，分式化简舍去无穷小量）

2、求\lim_{x\to\infty}e^{-x}(1+\frac{1}{x})^{x^2} ，（考点：指数式变形为对数式，自命题常考）

3、求\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{\frac{2}{x}}-e^2\left[1-\ln(1+x)\right]}{x}

4、求\lim_{x\to0^+}\left[\frac{\sin{x}}{x}\right]^{\frac{1}{1-\cos{x}}}

5、求\lim_{x\to3^{+}}\frac{\cos{x}\ln(x-3)}{\ln(e^x-e^3)}

第三题计算困难，注意灵活使用Taylor展开

第四题错误，指数部分趋近无穷大，底数趋近1，无法判断收敛与否，故不能舍去分母中的无穷小量或直接计算指数的极限,第四题其实三角函数的taylor展开也错了，注意系数分母处的是阶乘