平面方程与直线方程

给定平面\Pi 上的一点(x_0,y_0,z_0) ，以及平面的法向量(A,B,C) ，则其点法式方程为A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

平面\Pi 的一般方程可以表示为Ax+By+Cz+D=0

点法式可以直接转换成一般方程，一般方程只需要找到满足一般方程的一点(x_0,y_0,z_0) 即可写出点法式方程

空间直线L 的方程可由两个相交平面的方程组成的方程组确定\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}

已知直线L 的方向向量为s=(n,m,p) ，以及直线上的一点(x_0,y_0,z_0) ，则直线的点斜式方程为\frac{x-x_0}{n}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{p}

1、一般方程转换为点斜式方程

1）求解方程组，确定任意一个在直线上的解

2）求解对应的齐次线性方程组，确定直线的方向向量，由此得到点斜式方程

2、点斜式方程转化为一般方程

1）将方向向量拓展为三个线性无关的向量，得到两个平面的法向量

2）结合直线上的一点，即可写出一般方程

设两个平面的法向量为(A_1,B_1,C_1),(A_2,B_2,C_2) ，由于其法向的夹角与平面的夹角互补，所以平面夹角的余弦值等于负的平面夹角的余弦值

已知两条直线的方向向量，则直接使用余弦公式，即可得到夹角的余弦值

直线与平面夹角的正弦值等于直线方向向量与平面法向的夹角的余弦值（注意正负）

设平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0 ，点法式方程为A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 ，则得到平面上的一点M_0(x_0,y_0,z_0)

设平面外的一点为M_1(x_1,y_1,z_1) ，则d=||\overline{M_0M_1}||\frac{\left|\overline{M_0M_1}\cdot\overline{n}\right|}{||\overline{M_0M_1}||\cdot||\overline{n}||}=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}