曲线和曲面的方程

空间曲线可以看作两个空间曲面的交线，所以空间曲线C 可以由两个空间曲面方程描述\begin{cases} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{cases}

以R^2 中的曲线为例，若曲线上的点(x,y) 可以用参数t 表示为\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases} ，则称之为曲线的参数方程

设空间曲线C 的一般方程为\begin{cases} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{cases} ，消去z 之后得到的方程为H(x,y)=0 ，由此方程描述的曲线是曲线C 在平面xOy 上的投影

称三元方程F(x,y,z)=0 为曲面S 的方程，若任意在曲面S 上的点的坐标都满足方程，且不在曲面S 上的点都不满足方程

以R^3 中的曲面为例，若曲面上的点(x,y,z) 可以用参数s,t 表示为\begin{cases} x=x(s,t)\\ y=y(s,t)\\ z=z(s,t) \end{cases} ，则称之为曲面的参数方程

以一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线称为母线，定直线叫做轴

已知yOz 坐标平面上有一方程为f(y,z)=0 ，则曲线C 绕z 轴的旋转曲面的方程为f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0 ，绕y 轴的旋转曲面方程为f(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})

直线L 沿着给定曲线C 平行移动形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线

在R^3 中把三元二次方程F(x,y,z)=0 所表示的曲线称二次曲面

固定某一变量的值，将其投影到平面上观察起形状

1）椭圆锥面，\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2 ，在xOz 和yOz 上都是两条过原点的关于z轴对称的直线

2）椭球面，\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 ，在xOz,yOz 上都是两条过原点的关于z轴对称的直线

3）单叶双曲面，\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 ，在xOz,yOz 上都是关于z轴对称的双曲线

4）双叶双曲面，\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 ，在xOy,xOz 上都是关于x轴对称的双曲线

5）椭圆抛物面，\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z ，在xOz,yOz 上都是关于z轴对称的开口向上的抛物线

6）双曲抛物面，\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z ，在xOz 上是开口向上的抛物线，在yOz 上是开口向下的抛物线

7）椭圆柱面，\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

9）双曲柱面，\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

9）抛物柱面，x^2=ay