3.27习题

1、a_1=3,a_{n+1}=a_n^2+a_n(n=1,2,...) ，求极限\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{1+a_1}+...+\frac{1}{1+a_n}\right)

2、设a\le{x}\le{b},a\le{f(x)}\le{b} ，并设存在常数k ，0\le{k}<1 ，对于[a,b] 上的任意两点x_1,x_2 都有|f(x_1)-f(x_2)|\le{k}|x_1-x_2| ，证明：

1）存在唯一的\xi\in[a,b],s.t.f(\xi)=\xi

2）对任意给定的x_1\in[a,b] ，定义x_{n+1}=f(x_n),n=1,2,... ，则\lim_{n\to\infty}x_n 存在，且\lim_{n\to\infty}x_n=\xi

3、比较下列积分的大小：N=\int_{-a}^{a}x^2\sin^3{x}dx,P=\int_{-a}^{a}(x^3e^{x^2}-1)dx,Q=\int_{-a}^{a}\cos^2{x^3}dx

4、求\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+3n}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)

5、求\int_{0}^{1}\ln(x+\sqrt{x^2+3})dx

6、求\int_0^1\arcsin{\sqrt[3]{x}}dx

7、

因为a_n>a_{n-1}^2>a_{n-2}^4>...>a_1^{2n}=3^{2n} ，所以\lim_{n\to\infty}a_n\ge\lim_{n\to\infty}3^{2n}=\infty

令b_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n^2+in}} ，则\frac{n}{\sqrt{n^2+n^2}}\le{b_n}{\le}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} ，令n\to\infty ，有\frac{1}{\sqrt{2}}{\le}\lim_{n\to\infty}{b_n}\le1

两端的极限不同，虽然可以分子分母齐次，但只能求出一个b_n 极限的范围，不能准确求出其极限值

(\sqrt{1+x})'=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+x}}