有理函数积分

例1\int\frac{x^2}{(x+2)^3}dx

例2\int\frac{x^3}{(x^2-2x+2)^2}dx

例3\int\frac{1+\sin{x}}{\sin{x}(1+\cos{x})}dx

设P(x),Q(x) 为多项式，则分式\frac{P(x)}{Q(x)} 称为有理函数或有理分式。若P(x) 的次数比Q(x) 低，则称\frac{P(x)}{Q(x)} 为真分式，否则称为假分式。

若\frac{P(x)}{Q(x)} 为假分式，则由多项式的带余除法得\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{p(x)Q(x)+r(x)}{Q(x)}=p(x)+\frac{r(x)}{Q(x)} ，其中\frac{r(x)}{Q(x)} 为真分式。

设实系数多项式Q(x) 可分解为Q(x)=(x-x_1)^{r_1}...(x-x_d)^{r_d}(x^2+a_1x+b_1)^{k_1}...(x^2+a_tx+b_t)^{k_t} ，

真多项式\frac{P(x)}{Q(x)} 可以用待定系数法分解为如下形式的真分式之和\frac{A}{(x-a)^k},k\ge1;\frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^k},k\ge1,p^2-4q<0 ，注意k 必须从1开始加到最高次

求解例1

\int\frac{x^2}{(x+2)^3}dx=\int\frac{(t-2)^2}{t^3}dt =\int\frac{1}{t}+\frac{-4}{t^2}+\frac{4}{t^3}dt =\ln{t}+\frac{4}{t}+\frac{-2}{t^2}+C =\ln(x+2)+\frac{4}{x+2}+\frac{-2}{(x+2)^2}+C

求解例2

\int\frac{x^3}{(x^2-2x+2)^2}dx =\int\frac{x^3}{(1+(x-1)^2)^2}dx =\int\frac{(t+1)^3}{(1+t^2)^2}dt =\int\frac{(\tan{t}+1)^3}{1+\tan^2{t}}\sec^2{t}dt

=\int\frac{(\tan{t}+1)^3}{\sec^2{t}}dt =\int\sin^3t\cos^{-1}t+3\sin^2{t}+3\sin{t}\cos{t}+\cos^2{t}dt =\int-\ln{\cos{t}}+2t-\frac{1}{2}\sin{2t}-\frac{1}{2}\cos{2t}+C

令\tan{\frac{x}{2}}=t ，则有\sin{x}=2\sin{\frac{x}{2}}\cos\frac{x}{2}=\frac{2t}{1+t^2}, \cos{x}=\frac{\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}\sec^2{\frac{x}{2}} =\frac{1-t^2}{1+t^2},\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\frac{2t}{1-t^2}

且dt=\frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}}dx,dx=\frac{2}{1+t^2}dt

求解例3

\int\frac{1+\sin{x}}{\sin{x}(1+\cos{x})}dx =\int\frac{1+\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}\left(1+\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)}\frac{2}{1+t^2}dt =\int\frac{(1+t)^2}{2t}dt =\int\frac{1}{2t}+1+\frac{t}{2}dt =\frac{1}{2}\ln{|t|}+t+\frac{1}{4}t^2+C

=\frac{1}{2}\ln|\tan\frac{x}{2}|+\tan\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\tan^2\frac{x}{2}+C