微分中值定理

考纲

1、理解并应用Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理

表述一：定义在闭区间[a,b] 上的函数f(x) ，有f(a)=f(b) ，则\exists\xi\in[a,b],s.t.f'(\xi)=0

表述二：f(x) 在点x_0 的某个邻域U(x_0) 内有定义，在x_0 处可导，且\forall{x}\in{U}(x_0),f(x)\le{f}(x_0) （或f(x)\ge{f}(x_0) ），则有f'(x_0)=0

定义在[a,b] 上的函数f(x) 满足f(x)\in{C}[a,b],f(x)\in{C_1}(a,b) ，则至少存在一点\xi\in(a,b),s.t.f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)

证明需要构造Lagrange函数，然后用Rolle中值定理证明

Lagrange函数：L(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)

定义在[a,b] 上的函数f(x),F(x) 满足f(x),F(x)\in{C}[a,b],f(x).F(x)\in{C_1}(a,b) ，且\forall x\in [a,b],F'(x)\ne 0 ，则至少存在一点\xi\in[a,b],s.t.\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}

证明类似Lagrange中值定理的证明，也需要构造Lagrange函数，然后应用Rolle中值定理

Lagrange函数：L(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}\left(F(x)-F(a)\right)