连续函数及其性质

考纲

1、理解函数连续性的概念（含左连续和右连续），会判别函数间断点的类型

2、连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性，最大值和最小值定理，介值定理），并会应用这些性质

f(x) 在点x_0 处连续\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0,\exists\delta>0,s.t.|x-x_0|<\delta 时，有|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon

f(x) 在点x_0 处左连续\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0,\exists\delta>0,s.t.0[InvalidCharacterError: "X_0-X<\DELTA<" did not match the Name production] 时，有|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon

f(x) 在点x_0 处右连续\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0,\exists\delta>0,s.t.0[InvalidCharacterError: "X-X_0<\DELTA<" did not match the Name production] 时，有|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon

无穷间断点：函数在这点处趋于无穷

震荡间断点：例如在x=0 处的\sin\frac{1}{x}

可去间断点：函数在这点处极限存在（左右极限都相等）且函数在这点的定义有限，但是函数在这点的极限不等于函数在这点的值

跳跃间断点：函数在这点的左右极限都存在，但不相等

第一类间断点与第二类间断点：第一类间断点是指该点是函数的间断点且左右极限存在，例如可去间断点和跳跃间断点；第二类间断点是指所有非第一类间断点的间断点，例如无穷间断点，震荡间断点

性质一：连续函数的和差积商（分母在某点非零）也是连续的

性质二：单调的连续函数的反函数在原函数的值域上是连续单调的

性质三：连续函数的复合函数也是连续的

性质四：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的

定义在闭区间上的连续函数是有界的，而且比能取到最大值和最小值

定义在闭区间[a,b] 上的连续函数f(x) ，若有f(a)\cdot{f}(b)<0 ，则\exists\xi\in[a,b],s.t.f(\xi)=0

定义在闭区间[a,b] 上的连续函数f(x) ，记A=f(a),B=f(b) ，则任意一个A,B 之间的数C ，都\exists\xi\in[a,b],s.t.f(\xi)=C

定义在闭区间[a,b] 上的连续函数f(x) ，\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,s.t.\forall{x_1,x_2}\in[a,b],|x_1-x_2|<\delta ，都有|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon