导数

考纲

1、理解导数与微分的概念以及关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程与法线方程

2、理解函数可导性与连续性的关系

3、导数的四则运算法则，基本初等函数的求导公式

4、高阶导数的概念以及简单函数的高阶导数

5、会求分段函数的导数，会求隐函数和参数方程给所确定的函数以及反函数的导数

在x_0 附近有定义的函数f(x) 在x_0 处可导，若极限 \lim_{\Delta{x}\to0}\frac{f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)}{\Delta{x}}

设曲线L 在点x_0 处可导，且导数为f'(x_0) ，则这点处曲线的切线方程为y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

函数在点x_0 处可导\Rightarrow 函数在点x_0 处连续

(u(x){\pm}v(x))'=u'(x){\pm}v'(x) ，(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) ，\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)},(v(x)\ne0)

设y=f(x) 的反函数为x=f^{-1}(y) ，则\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{y'}

u=g(x) 在点x 处可导，y=f(u) 在点u 处可导，则复合函数f[g(x)] ，在点x 处可导，则其导数为f'[g(x)]g'(x)

函数的导数的导数称为二阶导数，函数的二阶导数的导数称作三阶导数，以此类推，n阶导数的导数称为n+1阶导数

由参数方程\begin{cases} x(t)=\varphi(t)\\ y(t)=\eta(t) \end{cases} 确定的函数的导数\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}