函数凹凸性

定义在开区间(a,b) 上的函数f(x) 是上凸函数，若\forall x_1,x_2\in(a,b),\alpha,\beta\ge0,\alpha+\beta=1 ，有f(\alpha x_1+\beta x_2)\ge\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)

定义在开区间(a,b) 上的函数f(x) 是下凸函数，若\forall x_1,x_2\in(a,b),\alpha,\beta\ge0,\alpha+\beta=1 ，有f(\alpha x_1+\beta x_2)\le\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)

定义在开区间(a,b) 上的一阶可导函数f(x) 是上凸函数，则有\forall x_0\in(a,b),f(x)\le f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0),x\in(a,b)

定义在开区间(a,b) 上的一阶可导函数f(x) 是下凸函数，则有\forall x_0\in(a,b),f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0),x\in(a,b)

定义在开区间(a,b) 上的函数f(x) 是二阶可导的，f(x) 是上凸函数当且仅当\forall x\in(a,b),f''(x)\le0 ，

f(x) 是下凸函数当且仅当\forall x\in(a,b),f''(x)\ge0

函数的拐点是指函数凹凸性开始改变的点

1）若函数的二阶导数存在，则二阶导数正负符号改变的点就是拐点

2）进一步若函数二阶导数存在且连续，则使二阶导数为零的且左右正负符号不一样的点就是拐点

3）若二阶导数不存在，左右二阶导数正负号不一样的点是拐点