4.1习题

1、求\lim_{x\to0}\frac{\sin x+x^2\sin \frac{1}{x}}{(1+\cos x)\ln (1+x)}

2、求\lim_{n\to\infty}n^2(a^\frac{1}{n}-a^\frac{1}{1+n}) ，其中a>0

3、求\lim_{n\to\infty}n^2(\arctan\frac{a}{n}-\arctan\frac{a}{n+1}) ，其中a>0

4、设f(x)=x+\ln(2-x) ，求f(x) 的最大值

5、当x\in(-\frac{1}{2},1] ，确定函数f(x)=\frac{\tan{\pi x}}{|x|(x^2-1)} 的间断点，并判定其类型

6、确定函数f(x)=\frac{x(x-1)}{|x|x^2-|x|} 的间断点，并判定其类型

7、设函数f(x) 在[a,b] 上连续，在(a,b) 上可导，且f(a)=f(b)=0 ，求证：

1）\exists\xi\in(a,b),s.t.f(\xi)+\xi f'(\xi)=0

2）\exists\xi\in(a,b),s.t.\eta f(\eta)+f'(\eta)=0