反常积分的收敛性及计算

反常积分：形如\int_a^{+\infty}f(x)dx,\int_{-\infty}^bf(x)dx,\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx 的积分

瑕积分：设f(x) 在点a处趋于无穷，则瑕积分可定义为\int_a^bf(x)dx

若被积函数f(x) 有原函数F(x) 且b 为f(x) 的奇点，则\int_a^bf(x)dx=\lim_{x\to b^-}F(x)-F(a)

被积函数f(x)\le g(x) ，若\int_a^{b}g(x)dx 收敛，且\int_a^{b}g(x)dx\ge\int_a^{b}f(x)dx ，则\int_a^{b}f(x)dx 也收敛

若\int_a^{b}f(x)dx 发散，且\int_a^{b}g(x)dx\ge\int_a^{b}f(x)dx ，则\int_a^{b}g(x)dx 也发散

设函数f(x) 在区间[a,b) 上连续，且f(x)\ge0 ，若存在常数p>1,s.t.\lim_{x\to b^-}(x-b)^pf(x) 存在，则反常积分\int_a^{b}f(x)dx 收敛

若\lim_{x\to b^-}(x-b)f(x)=d>0 ，d 有限或无穷，则反常积分\int_a^{b}f(x)dx 发散

\int_a^Af(x)dx 在A\in[a,+\infty) 上有界，g(x) 在x\in[a,+\infty) 上单调趋近于0，则\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx 收敛

\int_a^{+\infty}f(x)dx 收敛，g(x) 在x\in[a,+\infty) 上单调有界，则积分\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx 也收敛

若被积函数f(x) 有原函数F(x) ，则\int_a^bf(x)dx=\lim_{x\to b^-}F(x)-F(a)

被积函数f(x)\le g(x) ，若\int_a^{b}g(x)dx 收敛，b 是f(x) 的奇点且\int_a^{b}g(x)dx\ge\int_a^{b}f(x)dx ，则\int_a^{b}f(x)dx 也收敛

若\int_a^{b}f(x)dx 发散，且\int_a^{b}g(x)dx\ge\int_a^{b}f(x)dx ，则\int_a^{b}g(x)dx 也发散

设函数f(x) 在区间[a,b) 上连续，且f(x)\ge0 ，若存在常数p>1,s.t.\lim_{x\to b^-}(x-b)^pf(x) 存在，则反常积分\int_a^{b}f(x)dx 收敛

若\lim_{x\to b^-}(x-b)f(x)=d>0 ，d 有限或无穷，则反常积分\int_a^{b}f(x)dx 发散