4.2习题

1、求\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^2[x+\ln(1-x)]}

2、设x_1=1 ，x_{n+1}=\frac{x_n+3}{x_n+1} ，求\lim_{n\to \infty}x_n

3、对于f(x)=2\ln(1+x)-x

1）证明f(x) 在(0,+\infty) 内有唯一实根\xi

2）任取x_1>\xi ，定义x_{n+1}=2\ln(1+x_n),n=1,2,... ，证明\lim_{n\to\infty}x_n=\xi

4、设函数f(x) 在[-2,2] 上二阶可导，且|f(x)|\le1,f^2(0)+[f'(0)]^2=4 ，试证明\exists\xi\in(-2,2),s.t.f(\xi)+f''(\xi)=0

5、设函数f(x) 在[a,b] 内连续，在(a,b) 内可导且f(a)\ne f(b) ，证明\exists\xi,\eta\in(a,b),s.t.\frac{f'(\xi)}{2\xi}=\frac{f'(\eta)}{b+a}

6、设函数f(x) 在闭区间[a,b] 上连续且a,b>0 ，在(a,b) 内可导，证明\exists\xi\in(a,b),s.t.\frac{1}{a-b} \left| \begin{array}{cccc} a&b\\ f(a)&f(b) \end{array} \right| =f(\xi)-\xi f'(\xi)

7、设函数f(x) 在闭区间[1,2] 上二阶可导，证明\exists\xi\in(1,2),s.t.f(2)-2f(1)=\xi f'(\xi)-f(\xi)

8、求微分方程3e^x\tan ydx+(1-e^x)\sec^2 ydy=0 的通解

9、求微分方程y'\tan x=y\ln y 的通解