多元函数微分

设函数f(x,y) 的定义域为D ，点p_0(x_0,y_0) 是D 的聚点，若\exists A,\forall \varepsilon\ge0,\exists\delta>0,s.t.|f(x,y)-A|<\varepsilon,\forall(x,y)\in U(P_0,\delta)

注意，多元函数在某一点存在极限，则从任意方向趋近这一点，极限都一样

f(x,y) 在点(x_0,y_0) 处连续\Leftrightarrow\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)

以二元函数为例，f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x},f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}

以二元函数为例，称f(x,y) 在点(x_0,y_0) 处可微，若f(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}) ，亦即\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)\Delta x-f_y(x_0,y_0)\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}

称f_x(x,y) 在(x_0,y_0) 处连续若\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f_x(x,y)=f_x(x_0,y_0) ，称f_y(x,y) 在(x_0,y_0) 处连续若\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f_y(x,y)=f_y(x_0,y_0)

以二元函数为例，对于h(t)=f(\varphi(t),\eta(t)) ，则有\frac{\partial h}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial\eta}{\partial t}

对于f(x,y)=g(u(x,y),v(x,y)) ，则有\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} ，\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}

对于二元函数f(x,y) ，f(x,y) 在点(x_0,y_0) 的一个邻域内具有连续的偏导数，而且f(x_0,y_0)=0,f'_y(x_0,y_0)\ne0 ，则在(x_0,y_0) 的某一个邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=g(x) ，满足y_0=g(x_0) ，并且有\frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}

对于三元函数f(x,y,z) ，f(x,y,z) 在点(x_0,y_0,z_0) 的一个领域内部有连续的偏导数，而且f(x_0,y_0,z_0)=0,f_z'(x_0,y_0,z_0)\ne0 ，则在(x_0,y_0,z_0) 的某一个邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=g(x,y) ，满足z_0=g(x_0,y_0) ，并且有\frac{dz}{dx}=-\frac{f'_x}{f'_z},\frac{dz}{dy}=-\frac{f'_y}{f'_z}

以二元函数为例

取无条件极值的必要条件

z=f(x,y) 在点(x_0,y_0) 处一阶偏导数存在且取极值，则有f'_x(x_0,y_0)=f'_y(x_0,y_0)=0

取无条件极值的充分条件

用必要条件求出可能的点，再用如下方法判断

记\begin{cases} f''_{xx}(x_0,y_0)=A\\ f''{xy}(x_0,y_0)=f''_{yx}(x_0,y_0)=B\\ f''{yy}(x_0,y_0)=C \end{cases} ，\Delta=AC-B^2

若\Delta>0,A>0 ，则(x_0,y_0) 是极小值点

若\Delta>0,A<0 ，则(x_0,y_0) 是极大值点

若\Delta<0 ，方法失效，此时可尝试举例证伪

Lagrange乘数法求最值，化约束问题为无约束最值问题

对于约束问题u=f(x,y),\begin{cases} \varphi(x,y)=0\\ \psi(x,y)=0 \end{cases} ，构造Lagrange函数L(\lambda,,\mu,x,y)=f(x,y)+\lambda \varphi(x,y)+\mu\psi(x,y)

用求无条件极值的方法来求解问题即可