重积分
二重积分
二重积分的换元公式
设f(x,y,z) 在平面xOy 上的闭区域D 上连续，变换T:x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=(u,v,w) 将平面uOv 上的闭区域D' 映为平面xOy 上的闭区域D ，且满足
1）x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w) 在D' 上具有一阶连续偏导数
2）在D' 上，雅可比式J(u,v,w)=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=\left|
\begin{array}{cccc}
x_u\quad x_v\quad x_w\\
y_u\quad y_v\quad y_w\\
z_u\quad z_v\quad z_w
\end{array}
\right|
\ne0
3）变换T:D'\to D 是一对一的
则有积分换元公式\iiint_{D}f(x,y,z)dxdydz=\iiint_{D'}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J(u,v,w)|dudvdw
二重积分的对称性
普通对称性
即被积函数关于x 轴或者y 轴对称，此时有f(x,y)=f(-x,y) 或f(x,y)=f(x,-y)
轮换对称性
即积分区域关于直线y=x 对称，此时有\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_Df(y,x)dydx
二重积分的计算
极坐标系和直角坐标系的互化
做变量替换\begin{cases}
x=r\cos \theta\\
y=r\sin\theta
\end{cases} ，则J(r,\theta)=r ，\iint_{D}f(x,y)dxdy=\iint_{D'}f(x(r,\theta),y(r,\theta))rdrd\theta
三重积分
三重积分的换元公式
设f(x,y,z) 在R^3 上的闭区域D 上连续，变换T:x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=(u,v,w) 将R^3 上的闭区域D' 映为R^3 上的闭区域D ，且满足
1）x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w) 在D' 上具有一阶连续偏导数
2）在D' 上，雅可比式J(u,v,w)=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=\left|
\begin{array}{cccc}
x_u\quad x_v\quad x_w\\
y_u\quad y_v\quad y_w\\
z_u\quad z_v\quad z_w
\end{array}
\right|
\ne0
3）变换T:D'\to D 是一对一的
则有积分换元公式\iiint_{D}f(x,y,z)dxdydz=\iiint_{D'}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J(u,v,w)|dudvdw
三重积分的对称性
普通对称性
即被积函数关于平面xOy或平面yOz或平面zOx对称
轮换对称性
即积分区域是以直线x=y=z 为轴的旋转体，此时有\iiint_Df(x,y,z)dxdydz=\iiint_Df(y,z,x)dydzdz=\iiint_Df(z,x,y)dzdxdy
三重积分的计算
直角坐标系内的计算
先计算截面上的积分后沿着截面法线积分，或者先沿着法线积分后计算截面上的积分
柱面坐标系
先计算截面后沿着z轴积分
球面坐标系
适用场合：被积函数中含有x^2+y^2,x^2+y^2+z^2 或积分区域为球或球的部分亦即锥或锥的部分
变量替换：\begin{cases}
x=r\sin\varphi\cos\theta\\
y=r\sin\varphi\sin\theta\\
z=r\cos\varphi
\end{cases} ，J(r,\theta,\varphi)=r^2\sin\varphi
技巧：
1）对称性应用：使用普通对称和轮换对称适当1）化简直角坐标系的下的积分，再变量替换到球坐标系求解
2）逆用形心公式：\overline x=\frac{\iiint_D xdv}{\iiint_D dv}\Rightarrow\iiint_Dxdv=\overline x\cdot V
重心
转动惯量
