第一型线面积分

被积函数f 定义在曲线L 上，沿着曲线积分，其中函数f 的物理背景是曲线的密度，第一型曲线积分求的是曲线的质量

第一型曲线积分有如下形式\int_Lf(x,y)d\sigma,\int_Lf(x,y,z)d\sigma

对于R^2 中的曲线L 以及定义在L 上的函数f(x,y) ，L 的参数表达式为\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases} ，则有\int_Lf(x,y)d\sigma=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt

对于在R^3 中的曲线L 以及定义在L 上的函数f(x,y,z) ，L 的参数表达式为\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{cases} ，则有\int_Lf(x,y,z)d\sigma=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2}dt

被积函数f 定义在空间曲面\Sigma 上，在曲面上积分，其中函数f 的物理背景是曲面的密度，第一型曲面积分求的是曲面的质量

第一型曲面积分有如下形式\iint_\Sigma f(x,y,z)dS

对于或显示表示z=z(x,y) 或隐式表示F(x,y,z)=0 的空间曲面\Sigma ，需要经过以下三步从而将第一型曲面积分化为二重积分

1）将曲面\Sigma 投影到某一平面上，记投影区域为D ，注意投影区域不能重合，否则要分别计算

2）将z=z(x,y) 或F(x,y,z)=0 代入f(x,y,z)

3）计算z'_x,z'_y,dS=\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy

于是\iint_\Sigma f(x,y,z)dS=\iint_Df(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy

特别地，对于(x,y,z)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ；

面积公式为\int_\Omega\sqrt{\det[(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v)})^T\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v)}]}dudv

1）需要将边界方程 代入被积函数达到化简目的

2）形心公式逆用\overline{x}=\frac{\iint_\Sigma xdS}{\iint_\Sigma dS}, \overline{x}\cdot V=\iint_\Sigma xdS

第一型曲线积分的重心

第一型曲线积分的转动惯量

第一型曲面积分重心

第一型曲面积分转动惯量