第二型线面积分

被积函数是形如F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j 或F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 的向量函数，定义在曲线L 上，其物理背景是沿着曲线从起点移动到重点所做的功

第二型曲线积分具有如下形式\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy,\int_LP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz

被积函数是形如F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 的向量函数，定义在空间曲面\Sigma 上，其物理背景是一个向量函数通过某有向曲面的总通量

第二型曲面积分具有如下形式\iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_\alpha^\beta Px'(t)+Qy'(t)dt

推导过程：\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_\alpha^\beta Px'(t)+Qy'(t)dt

=\int_\alpha^\beta \left[P\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}+Q\frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}\right]\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt （实际计算步骤，此处为推导的中间步骤）

=\int_L (P,Q)\overline{n}d\sigma （这就化为第一型曲线积分）

条件：有界闭区域，边界是分段光滑的L 围成的，L 的方向是正向的，被积函数的各个分量在区域上有一阶连续偏导数

则有Green公式成立\oint_LPdx+Qdy=\iint_D\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}d\sigma ，将原积分化为二重积分

技巧：若不满足闭曲线的条件，可以补若干段简单的曲线；若不满足分段光滑，则将奇点挖去，算出之后再求极限

设\Omega 为空间某区域，\Sigma 为\Omega 内分片光滑的有向曲面片，L 为逐段光滑的\Sigma 的边界，其方向与\Sigma 的法向成右手系，被积函数的各个分量再区域内都具有连续的一阶偏导数，则有Stroke公式成立\oint_LPdx+Qdy+Rdz=\iint_\Sigma\left|\begin{array}{cccc} \cos\alpha\quad \cos\beta\quad \cos\gamma\\ \frac{\partial}{\partial x}\quad\frac{\partial}{\partial y}\quad \frac{\partial}{\partial z}\\ P\quad Q\quad R\quad \end{array} \right|dS =\iint_\Sigma\left|\begin{array}{cccc} dydz\quad dzdx\quad dxdy\\ \frac{\partial}{\partial x}\quad\frac{\partial}{\partial y}\quad \frac{\partial}{\partial z}\\ P\quad Q\quad R\quad \end{array} \right| ，将原积分化成第一型或第二型曲面积分

对于\iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy ，分别计算\iint_\Sigma Pdydz,\iint_\Sigma Qdzdx,\iint_\Sigma Rdxdy ，即可先计算\iint_{yOz} P(x(y,z),y,z)dydz,\iint_{zOx} Q(x,y(z,x),z)dzdx,\iint_{xOy} R(x,y,z(x,y))dxdy ，最后根据原曲面方向各自加上正负号，相加即可

空间中的区域\Omega 由分片光滑的闭曲面\Sigma 围成，被积函数的各个分量均在区域内由一阶连续偏导数，则Gauss公式成立\oint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint_\Omega\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}dxdydz

\iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Qdxdy=\iint_\Sigma P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma dS （可推导出投影法）