级数收敛的定义
对于无穷级数 ，级数收敛是指 存在且有限
性质
1）若级数 都收敛，则 收敛
2）若级数 收敛，则 在 时也收敛
3）若级数 收敛，则
1）正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界
2）比较判别法
给出两个正项级数 ，对于所有的 ，有
则 发散可推出 发散， 收敛可推出 收敛
3）比较判别法的极限形式
给出两个正项级数 ，
若 ，则 收敛可推出 收敛， 发散可推出 发散
若 ，则 发散可以推出 发散， 收敛可推出 收敛
若 ，则 敛散性一致
4）比值判别法（达朗贝尔判别法）
5）根值判别法（柯西判别法）
比较判别法常用的比较函数
1）几何级数
2） 级数
3）广义 级数 （积分法证明）
4）交错 级数
判定步骤：
给定一个正项级数，首先观察项的形式；
对于形似taylor展开的项，匹配对应的taylor展开式；
对于指数形式的项，用根值判别法；
对于分式项，可采用比值判别法；
根值判别法失败，比值判别法失败，以及无法用上述三种方法判定的，采用比较判别法；
先观察项的形式是否与给定的四种级数类似：几何级数，p级数，广义p级数，交错p级数；
四种级数不能比较，考虑放缩；
放缩不能解决，考虑积分判定法。
任给一交错级数 ，若 单调不增且 ，则该级数收敛
任给一级数
称 绝对收敛，若 收敛
称 条件收敛，若 收敛，但 发散
幂级数的形式
标准形式为
一般形式为
收敛点与发散点
称 为幂级数 的收敛点若 收敛
称 为幂级数 的发散点若 发散
收敛半径与收敛域
收敛半径的求法 ，则收敛半径
开区间 是幂级数 的收敛区间，再验证端点 的收敛性，则得到收敛域
阿贝尔定理
当幂级数 在点 处收敛时，任意满足 的 ，幂级数绝对收敛（既幂级数在收敛域内绝对收敛）
当幂级数 在点 处发散时，任意满足 的 ，幂级数发散（记幂级数在收敛域外发散）
幂级数的和函数常见的展开式