矩阵特征值和特征向量

NoteDeep

特征值和特征向量的概念与求法
相似矩阵的概念、性质以及矩阵可相似对角化的充要条件以及相似对角化的方法
实对称矩阵的特征值和特征向量的性质

特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
设  为n阶矩阵，若存在一个数  以及一个n维列向量  ，使得  ，则称  为  的特征向量，  为对应的特征值
特征方程
n阶矩阵  的特征多项式为  或  
矩阵相似
 相似矩阵的概念、性质
相似的定义
对于两个n阶方阵  ，称  与  相似，若存在n阶可逆矩阵  ，使得  ，记作  
相似的必要条件
若  ，则有
1）  
2）  
3）  
4）  
5）  
相似的其他结论
1）  
2）  
矩阵的相似对角化
矩阵相似对角化的定义
字面意思，相似于一个对角矩阵
可相似对角化的充要条件
矩阵  的充要条件是
1）  有n个线性无关的特征向量
2）  是特征多项式的  重根，  
可相似对角化的充分条件
矩阵  的充分条件是
1）  有n个互异的特征值
2）  
3）  
4）  是实对称矩阵
5）  
可相似对角化的必要条件
  非零特征值的个数（重根按照重数计算）
可相似对角化的否定条件
  矩阵  不可相似对角化，若满足以下条件之一
1）  
2）  的特征值全部为  但  

实对称矩阵
实对称矩阵的性质
1）特征值均为实数，特征向量给均为实向量
2）不同特征值对应的特征向量正交
3）可用正交矩阵相似对角化

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