向量空间定义为在域上的带有加法和标量乘法的满足加法交换律、加法结合律、标量乘法分配律、带有加法零元、加法逆元、乘法单位元的集合
线性算子：从向量空间到向量空间的映射，从集合意义上可以理解为将向量进行伸缩旋转的映射
可逆的线性算子将零元变换为零元，该性质跟可逆性是等价的
若有非零向量被映射为零元，则该算子将这个向量生成的一维线性空间都映射到了零元，那么这个向量空间在该算子下的象至少少了一维
向量空间的和是向量空间的向量全体生成的向量空间，是包含这些向量空间的最小向量空间
向量空间的直和是特殊的向量空间的和，这些向量空间的交集只有零元，这等价于直和空间中的向量被这些子空间唯一表示
线性代数的一个中心目标就是要证明，对于给定的算子，希望找到线性空间中的一组基，使得该算子在这组基下的矩阵表示尽量简单，比如呈上三角或者对角或者分块约当型。
对于复数域V上的有限维线性空间，算子T的特征多项式总是有dimV个复根，对应着不超过dimV个不变子空间，可对商空间以及商算子进行归纳证明，存在一组基使得算子T在这组基下的矩阵为上三角阵。
但是需要注意，并不是所有特征子空间的维数之和等于V的维数，比如出现了约当块，存在基使得在算子为上三角矩阵，但是不能将线性空间做直和分解。
对于实数域V上的线性空间，算子的特征多项式可以分解为若干一次式的幂以及无实根的二次式的幂，这对应若干k维不变子空间（对应约当块）以及二维不变子空间。如果有dimv个实根，也未必能对角化，因为可能有约当块存在，此时需要化简λ矩阵，考察各阶多项式因子，相似矩阵的多项式因子是全部一样的。
对于实对称矩阵，实对称矩阵一定能对角化为对角矩阵——标准型或者规范型。可以通过正交矩阵来正交对角化为标准型，此时对角线上的元素即为实对称矩阵的特征值，可由此判断相似。正惯性系数为矩阵阶数的实对称矩阵被称为正定矩阵，其充要条件是所有顺序主子式全为正，必要条件为行列式为正或者对角线元素全为正。
合同矩阵的变换矩阵是可逆矩阵，因此可以分解为一个正交矩阵与一个对角线元素为1的上三角元素的乘积；
对于相似的实对称矩阵，每个所有特征向量都是线性无关的，因此变换矩阵本身就是正交的，的分解出来的上三角矩阵是单位矩阵；非正交的变换矩阵，分解出来的上三角矩阵上半部分有非零元素存在，导致变换矩阵非正交