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  • 线性代数

二次型、二次型的秩
合同变换与合同矩阵
二次型的标准型、规范形以及惯性定理
正定二次型、正定矩阵以及判别方法

二次型及其标准型、规范形

二次型及其矩阵表示

形如 的n元二次齐次多项式称为n元二次型，简称二次型，其矩阵表示为 ，其中

二次型的标准型和规范形

标准型
若二次型中只含有平方项没有交叉项，即形如 ，称为标准型
规范形
在标准型中，系数仅为-1，0，1，即形如

惯性定理

二次型的化为标准二次型或者规范二次型后，其正项的个数记为p，负项的个数记为q，p称为正惯性指数，q称为负惯性指数

正交变换法

对于二次型
1）求 的特征值 以及对应的特征向量
2）将 正交化，或正交单位化为
3）令 ，则 为正交矩阵，且
于是

标准型的几何应用

对于二次曲面

+++
椭球面
++-
单叶双曲面
+--
双叶双曲面


实对称矩阵的合同

合同的定义
是同阶的实对称方阵，若存在可逆矩阵 使得 ，则称 合同
区分合同与等价与相似
合同：存在可逆矩阵
等价：存在可逆矩阵
相似：存在可逆矩阵

正定二次型

二次型 是正定二次型的充要条件
1） （定义）
2） 的特征值
3） 的正惯性指数
4）存在可逆矩阵 ，使得
5） 与 合同
6） 的全部顺序主子式全大于0
二次型 是正定二次型的必要条件
1）
2）
相关结论
1） 正定，则 正定
2） 正定， 正定， 正定
3） 正定，且 ，则 正定
4） 正定且正交，则





















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