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第二型曲线积分

被积函数是形如 或 的向量函数，定义在曲线 上，其物理背景是沿着曲线从起点移动到重点所做的功
第二型曲线积分具有如下形式

第二型曲面积分

被积函数是形如 的向量函数，定义在空间曲面 上，其物理背景是一个向量函数通过某有向曲面的总通量
第二型曲面积分具有如下形式

计算

平面上第二型曲线积分的计算

1）化为定积分
2）化为第一型曲线积分
推导过程：
（实际计算步骤，此处为推导的中间步骤）
（这就化为第一型曲线积分）

3）格林公式（化为二重积分）
条件：有界闭区域，边界是分段光滑的 围成的， 的方向是正向的，被积函数的各个分量在区域上有一阶连续偏导数
则有Green公式成立 ，将原积分化为二重积分
技巧：若不满足闭曲线的条件，可以补若干段简单的曲线；若不满足分段光滑，则将奇点挖去，算出之后再求极限

空间第二型曲线积分的计算

1）斯托克公式（化为第一型或第二型曲面积分）
设 为空间某区域， 为 内分片光滑的有向曲面片， 为逐段光滑的 的边界，其方向与 的法向成右手系，被积函数的各个分量再区域内都具有连续的一阶偏导数，则有Stroke公式成立 ，将原积分化成第一型或第二型曲面积分

第二型曲面积分的计算

1）投影法（化为二重积分）
对于 ，分别计算 ，即可先计算 ，最后根据原曲面方向各自加上正负号，相加即可
2）高斯公式（化为三重积分）
空间中的区域 由分片光滑的闭曲面 围成，被积函数的各个分量均在区域内由一阶连续偏导数，则Gauss公式成立
3）化为第一型曲面积分
（可推导出投影法）




























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