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函数的凹凸性的充分和必要条件

一般方法（充要条件）
定义在开区间 上的函数 是上凸函数，若 ，有
定义在开区间 上的函数 是下凸函数，若 ，有
一阶可导的情形
定义在开区间 上的一阶可导函数 是上凸函数，则有
定义在开区间 上的一阶可导函数 是下凸函数，则有
二阶可导的情形（充要条件）
定义在开区间 上的函数 是二阶可导的， 是上凸函数当且仅当 ，
是下凸函数当且仅当

函数的拐点

拐点
函数的拐点是指函数凹凸性开始改变的点
判断拐点的方法
1）若函数的二阶导数存在，则二阶导数正负符号改变的点就是拐点
2）进一步若函数二阶导数存在且连续，则使二阶导数为零的且左右正负符号不一样的点就是拐点
3）若二阶导数不存在，左右二阶导数正负号不一样的点是拐点

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